第七单元平面向量
教材复习课“平面向量”相关基础知识一课过eq\a\vs4\al(?对应学生用书P59?)
向量的有关概念
[过双基]
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称eq\a\vs4\al(模))
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
eq\a\vs4\al([小题速通])
1．若向量a与b不相等，则a与b一定()
A．有不相等的模 B．不共线
C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．
2．关于平面向量，下列说法正确的是()
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．平面内的单位向量是唯一的
C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量
D．共线向量就是相等向量
解析：选C对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.
3．下列命题中，正确的个数是()
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a，b满足|a||b|且a与b同向，则ab；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误．
综上，正确的命题个数是0.
[清易错]
1．对于平行向量易忽视两点：
(1)零向量与任一向量平行．
(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()
A．共线 B．不共线
C．共线且同向 D．不一定共线
解析：选D可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．
2．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－eq\f(1,3)b D．a⊥b
解析：选C“eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.
向量共线定理及平面向量基本定理
[过双基]
1．向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
2．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
eq\a\vs4\al([小题速通])
1．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：选D∵A，B，C三点共线，
∴eq\o(AB,\s\up7(―→))∥eq\o(AC,\s\up7(―→))，
设eq\o(AB,\s\up7(―→))＝meq\o(AC,\s\up7(―→))(m≠0)，即λa＋b＝ma＋mμb，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))∴λμ＝1.
2．(2018·南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则eq\f(m,n)的值为()
A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)
C．－2 D．2
解析：选C∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝m，,－λ＝2，))故eq\f(m,n)＝－2