2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）
一、单选题
1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）直线是曲线和曲线的公切线，则（????）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，
，则，由，可得，
则，即点，
将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①
，则，由，可得，
，即点，
将点的坐标代入直线的方程可得，，②
联立①②可得，故，.
故选：A.
2．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数，若在区间内恰好有7个零点，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，对任意，在内最多有2个零点，不符题意；
所以，
当时，,开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为当时，；
当，即时，在内无零点，
所以在内有7个零点，
即在内有7个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为，
所以无解；
当，即时，
=在内有1个零点，
在内有6个零点，
即在内有6个零点，
由三角函数的性质可知此时在内只有4个零点，不符题意；
当，即时，
=在内有2个零点，
所以=在内有5个零点，
即在内有5个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为时，
所以，
当，即时，
在内有1个零点，
所以在内有6个零点，
即在内有6个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为，
所以.
综上所述，的取值范围为：.
故选：D.
3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，解得，即在上仅有一个零点，所以只需在上有个不同零点即可．
当时，，所以，即
故选：A
4．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，所在圆即为的外接圆.
设圆的半径为，则，解得.
因为为等边三角形，所以.
由正弦定理可得，解得.
所以.
如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得.
设球的半径为，在Rt中，，解得.
所以球的体积.
故选：B.
5．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，且，沿BD把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为60°，则三棱锥的外接球的表面积为（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点H，连接，因为ABCD为菱形，所以,
故为二面角的平面角，则，
由题意可知为正三角形，则外接球球心位于过的中心且和它们所在面垂直的直线上，
故分别取的重心为，
过点，分别作两个平面的垂线，交于点O，点O即为三棱椎的外接球的球心，
由题意可知，球心到面和面的距离相等，即,
连接，则,
菱形ABCD的边长为2，
，即三棱锥的外接球的半径，
则其外接球的表面积为，
故选：B．
6．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知正实数、、满足，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
由于、、均为正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：C.
7．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，过的直线斜率存在，
中点为，
又
又
在中，由余弦定理
整理得：且，所以是等腰直角三角形.
设，则，
在中，由勾股定理得：
由双曲线定义可知：
由双曲线定义可知：且
整理得：
在中，，，
由余弦定理可得：
代入计算得：
离心率e＝
故选：A.
9．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数，是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，函数的最小正周期为，，
，
因为是的一个极值点，则，则，
因为，，则，
因此，.
故选：D.
10．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，，则的大小关系为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
令，
则，令，