第27练坐标系与参数方程
[明考情]
坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度.
[知考向]
1.极坐标与直角坐标的互化.
2.参数方程与普通方程的互化.
3.极坐标与参数方程的综合应用.
考点一极坐标与直角坐标的互化
要点重组把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)?x≠0?.))
1.已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρ·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圆C的半径.
解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为eq\r(6).
2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，求CP的长.
解由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，
即x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2，0)，
又由点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，
可得点P的直角坐标为(2，2eq\r(3))，
∴CP＝eq\r(?2－2?2＋?2\r(3)－0?2)＝2eq\r(3).
3.在极坐标系中，曲线C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值.
解ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，
即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为eq\r(2)x＋y－1＝0，
ρ＝a(a0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.
在eq\r(2)x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).
将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入x2＋y2＝a2，得a＝eq\f(\r(2),2).
4.在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3eq\r(2)和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A，B，求线段AB的长.
解∵ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝ρcosθcoseq\f(π,4)－ρsinθsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)ρcosθ－eq\f(\r(2),2)ρsinθ＝3eq\r(2)，
∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.
又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，
∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.
解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝6，,y2＝8x，))
得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝18，,y＝12，))
所以A(2，－4)，B(18，12)，
所以AB＝eq\r(?18－2?2＋[12－?－4?]2)＝16eq\r(2).
即线段AB的长为16eq\r(2).
考点二参数方程与普通方程的互化
要点重组常见曲线的参数方程
(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数).
(2)圆心在P(x0，y0)，半径等于r的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数).
(3)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b