高考达标检测（十八）三角恒等变换的3个考查点

——化简、求值和应用

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－eq\f(1,3)，则cos2θ＝()

A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(1,5)

C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)

解析：选D∵cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)，

又∵tanθ＝－eq\f(1,3)，∴cos2θ＝eq\f(1－\f(1,9),1＋\f(1,9))＝eq\f(4,5).

2．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，且－eq\f(π,2)＜α＜0，则eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))等于()

A．－eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(3\r(5),10)

C．－eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(2\r(5),5)

解析：选A由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(1,2)，得tanα＝－eq\f(1,3).

又－eq\f(π,2)α0，所以sinα＝－eq\f(\r(10),10).

故eq\f(2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(2sinα?sinα＋cosα?,\f(\r(2),2)?sinα＋cosα?)＝2eq\r(2)sinα＝－eq\f(2\r(5),5).

3．(2018·温州测试)已知sinx＋eq\r(3)cosx＝eq\f(6,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝()

A．－eq\f(3,5) B.eq\f(3,5)

C．－eq\f(4,5) D.eq\f(4,5)

解析：选B∵sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))

＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sinx＋cos\f(π,6)cosx))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(6,5)，

∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))＝eq\f(3,5).

4．(2018·东北三省模拟)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，则cos2α＝()

A．1 B．－1

C.eq\f(1,2) D．0

解析：选D∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，

∴eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，

即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sinα＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cosα，

∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1，

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0.

5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cosθ＝eq\f(3,4)，则taneq\f(θ,2)＝()

A.eq\r(7) B.eq\f(1,7)

C．7 D.eq\f(\r(7),7)

解析：选D法一：因为θ∈[0，π]，所以eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，

所以coseq\f(θ,2)＝eq\r(\f(cosθ＋1,2))＝