§2.3函数的奇偶性与周期性
考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中档偏上难度．
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
知识拓展
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．
(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则T＝2a(a0)．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)
(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)
题组二教材改编
2．[P45习题T11]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________.
答案－2
解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
3．[P43练习T4]函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________.
答案3
解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；
若a0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.
故对a∈R，总有f(－a)＝3.
4．[P45习题T8]若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.
答案1
解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，
∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，
∴1－a＝0，∴a＝1.
题组三易错自纠
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案eq\f(1,3)
解析依题意得f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，又a－1＝－2a，
∴a＝eq\f(1,3)，∴a＋b＝eq\f(1,3).
6．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
答案3
解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3)＝3.∴f(－1)＝3.
题型一判断函数的奇偶性
典例判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq\f(lg?1－x2?,|x－2|－2)；
(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x＜0，,－x2＋x，x＞0.))
解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq\r(3)，
即函数f(x)的定义域为{－eq\r(3)，eq\r(3)}，
∴f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＞0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq\f(lg?1－x2?,－x).
又∵f(－x)＝eq\f(lg[1－?