高考达标检测（五十四）数系的扩充与复数的引入的命题3角度
一、选择题
1．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A∵zi＝1＋i，∴z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1,i)＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
2．(2018·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数eq\f(2,1－i)在复平面内所对应的点在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A因为eq\f(2,1－i)＝1＋i，其在复平面内对应的点(1,1)在第一象限．
3．已知复数z满足z＝eq\f(a＋i,2－i)＋a为纯虚数，则|z|＝()
A.eq\f(1,2) B．2
C.eq\f(3,7) D.eq\f(1,3)
解析：选C∵z＝eq\f(?a＋i??2＋i?,?2－i??2＋i?)＋a＝eq\f(?7a－1?＋?a＋2?i,5)为纯虚数，
∴eq\f(7a－1,5)＝0，eq\f(a＋2,5)≠0，解得a＝eq\f(1,7)，
∴z＝eq\f(3,7)i，∴|z|＝eq\f(3,7).
4．设复数z满足(1＋i)z＝－2i，i为虚数单位，则z＝()
A．－1＋i B．－1－i
C．1＋i D．1－i
解析：选Bz＝eq\f(－2i,1＋i)＝eq\f(－2i?1－i?,?1＋i??1－i?)＝－i－1.
5．已知i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝i，则|z|＝()
A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)
C．1D.eq\r(2)
解析：选B∵z＝eq\f(i,1－i)＝eq\f(i?1＋i?,?1－i??1＋i?)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，
∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).
6．(2018·遵义模拟)复数z＝4i2018－eq\f(5i,1＋2i)(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选Cz＝4i2018－eq\f(5i,1＋2i)＝4×i2016·i2－eq\f(5i?1－2i?,?1＋2i??1－2i?)＝－4－eq\f(5?2＋i?,5)＝－6－i，
故z在复平面内对应的点在第三象限．
7．已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()
A．θ＝eq\f(π,4) B．θ＝eq\f(π,2)
C．θ＝eq\f(3π,4) D．θ＝eq\f(5π,4)
解析：选Cz＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i.z是纯虚数等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＋sinθ＝0，,cosθ－sinθ≠0，))等价于θ＝eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.故选C.
8．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于()
A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)
C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)
解析：选D因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，
所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，
又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－eq\f(3,4)，故选D.
二、填空题
9．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a－i,2＋i)为实数，则a的值为________．
解析：由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(?a－i??2－i?,?2＋i??2－i?)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是实数，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.
答案：－2
10．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac,bd))＝ad－bc，复数z满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(zi,1i))＝1＋i，eq\x\to(z)为z的共轭复数，则eq\x\to(z