3.2.4函数模型的应用实例(二)
(一)教学目标
1.知识与技能
掌握应用指数型,拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征,提升学生解决简单的实际应用问题的能力.
2.过程与方法
经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征,学会运用函数知识解决实际问题.
3.情感、态度与价值观
了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣.
(二)教学重点与难点
重点:指数函数模型、拟合函数模型的应用
难点:依据题设情境,建立函数模型.
(三)教学方法
师生合作探究解题方法,总结解题规律.老师启发诱导,学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型,似合函数模型解决实际问题的技能.
(四)教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示:
销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
销售单价/元
10
11
12
日均销售量/桶
320
280
240
请据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?
师生合作回顾一元一次函数,一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”
生:尝试解答例1
解:根据表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为
480–40(x–1)=520–40x(桶)
由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得
y=(520–40x)x–200
=–40x2+520x–200,0<x<13
易知,当x=6.5时,y有最大值.
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
师:帮助课本剖析解答过程,回顾反思上节课的学习成果
以旧引新激发兴趣,再现应用技能.
应用举例
4.指数型函数模型的应用
例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0ert,
其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数/万人
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
61456
62828
64563
65994
67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?
例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高/cm
60
70
80
90
100
110
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
身高/cm
120
130
140
150
160
170
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?
例2解答:
(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:,用计算器算得a≈2,b≈1.02.
这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2,
所以,这个男生偏胖.
归纳总