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文件名称:3.2.4函数模型的应用实例(二).doc
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总页数:6 页
更新时间:2025-07-01
总字数:约5.44千字
文档摘要

3.2.4函数模型的应用实例(二)

(一)教学目标

1.知识与技能

掌握应用指数型,拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征,提升学生解决简单的实际应用问题的能力.

2.过程与方法

经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征,学会运用函数知识解决实际问题.

3.情感、态度与价值观

了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣.

(二)教学重点与难点

重点:指数函数模型、拟合函数模型的应用

难点:依据题设情境,建立函数模型.

(三)教学方法

师生合作探究解题方法,总结解题规律.老师启发诱导,学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型,似合函数模型解决实际问题的技能.

(四)教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示:

销售单价/元

6

7

8

9

日均销售量/桶

480

440

400

360

销售单价/元

10

11

12

日均销售量/桶

320

280

240

请据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

师生合作回顾一元一次函数,一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”

生:尝试解答例1

解:根据表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为

480–40(x–1)=520–40x(桶)

由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得

y=(520–40x)x–200

=–40x2+520x–200,0<x<13

易知,当x=6.5时,y有最大值.

所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.

师:帮助课本剖析解答过程,回顾反思上节课的学习成果

以旧引新激发兴趣,再现应用技能.

应用举例

4.指数型函数模型的应用

例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0ert,

其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.

下表是1950~1959年我国的人口数据资料:

年份

1950

1951

1952

1953

1954

人数/万人

55196

56300

57482

58796

60266

年份

1955

1956

1957

1958

1959

人数/万人

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;

(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?

例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表

身高/cm

60

70

80

90

100

110

体重/kg

6.13

7.90

9.90

12.15

15.02

17.50

身高/cm

120

130

140

150

160

170

体重/kg

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?

例2解答:

(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.

如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:,用计算器算得a≈2,b≈1.02.

这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x.

将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175,

由计算器算得y≈63.98.

由于78÷63.98≈1.22>1.2,

所以,这个男生偏胖.

归纳总