错切变换（shear）错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换，得到点的过程。（a）正方形（b）沿+x方向错切（c）沿-x方向错切第30页，共71页，星期日，2025年，2月5日错切变换（1）沿x轴方向关于y轴错切将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的倾斜线，而保持y坐标不变。△x错切变换（1）yx第31页，共71页，星期日，2025年，2月5日（d）沿+y方向错切（e）沿-y方向错切（f）沿+x和+y方向错切第32页，共71页，星期日，2025年，2月5日（2）沿y轴方向关于x轴错切将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线，而保持x坐标不变。x错切变换（2）y△y第33页，共71页，星期日，2025年，2月5日沿x，y方向的错切变换的坐标表示为：相应的齐次坐标矩阵表示为：?第34页，共71页，星期日，2025年，2月5日沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为：其中c、b为错切参数。第35页，共71页，星期日，2025年，2月5日的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着对图形进行错切变换。令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c0是沿x正向的错切变换，c0是沿x负向的错切变换.令c＝0可以得到沿y方向的错切变换，b0是沿y正向的错切变换，b0是沿y负向的错切变换.在前面的变换中，子矩阵第36页，共71页，星期日，2025年，2月5日上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形来实现。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点并重新画线来完成。符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（AffineTransformation）。第37页，共71页，星期日，2025年，2月5日变换后的坐标x’和y’都是变换前的坐标x和y的线性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。因此，平移、比例、旋转、反射的仿射变换保持变换前后两直线间的角度、平行关系和长度之比不改变。第38页，共71页，星期日，2025年，2月5日复合变换（组合变换）复合变换又称级联变换，指对图形做一次以上的几何变换。注意：任何一个线性变换都可以分解为上述几类变换。第39页，共71页，星期日，2025年，2月5日复合变换是指图形做了一次以上的基本几何变换，是基本几何变换的组合形式，复合变换矩阵是基本几何变换矩阵的组合。其中，T为复合变换矩阵，为单次基本几何变换矩阵。第40页，共71页，星期日，2025年，2月5日合变换中矩阵相乘的顺序不可交换。通常先计算出值得注意是：进行复合变换时，需要注意矩阵相乘的顺序。由于矩阵乘法不满足交换律，因此通常再计算第41页，共71页，星期日，2025年，2月5日例1：复合平移求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*,y*）第42页，共71页，星期日，2025年，2月5日例1：复合平移解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P?(x?y?1)，则经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)∴变换矩阵为Tt=Tt1?Tt2第43页，共71页，星期日，2025年，2月5日例2：多种复合组合例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx第44页，共71页，星期日，2025年，2月5日1.相对于任意点（x0,y0）的比例变换对任意点比例变换的步骤：（1）平移变换（2）相对于原点的比例变换（3）平移变换当（x0,y0）为图形重心的坐标时，这种变换实现的是相对于重心的比例变换。5.3.3二维组合变换第45页，共71页，星期日，2025年，2月5日令任意点比例变换示意图平移平移比例则有第46页，共71页，星期日，2025年，2月5日2.绕任意点（x0