第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日§2.3拉普拉斯方程的解——分离变量法、分离变量法的适用条件四、应用实例（习题课）三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式机动目录上页下页返回结束第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日1、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的适用条件2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。机动目录上页下页返回结束一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用而不能用第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1、直角坐标（1）令令机动目录上页下页返回结束第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日（2）若（3）若，与无关。注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边界条件，将与某些正整数有关，它们可取1，2，3，…，只有对它们取和后才得到通解。机动目录上页下页返回结束第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日柱坐标讨论，令有两个线性无关解、单值性要求，只能取整数，令若，机动目录上页下页返回结束第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日3．球坐标——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）若不依赖于，即具有轴对称性，通解为-----为勒让德函数若与均无关，具有球对称性，通解：机动目录上页下页返回结束第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日三．解题步骤根据具体条件确定常数选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；（1）外边界条件：电荷分布有限机动目录上页下页返回结束第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界可视为外边界，给定（接地），或给定总电荷Q，或给定。电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如（直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。均匀场中，（2）内部边值关系：介质分界面上一般讨论分界面无自由电荷的情况机动目录上页下页返回结束第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日四．应用举例1、两无限大平行导体板，相距为，两板间电势差为V(与无关)，一板接地，求两板间的电势和。xyOVZ解：（1）边界为平面，故应选直角坐标系下板，设为参考点（2）定性分析：因在（常数），可考虑与无关。机动目录上页下页返回结束第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日(4)定常数：(5)电场为均匀场常数电势：(3)列出方程并给出解：方程的解：机动目录上页下页返回结束第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日一对接地半无限大平板，相距为，左端有一极板电势为V（常数），求两平行板之间的电势。xyzV解：（1）边界为平面，选直角坐标系；上、下两平板接地，取为参考点；且当（2）轴平行于平板，且与无关，可设机动目录上页下页返回结束第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日（3）确定常数A，B，C，D，k①②通解机动目录上页下页返回结束第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日③④两边同乘并从0→b积分：∵机动目录上页下页返回结束第14页，共33页，星期