离散数学第讲第1页，共23页，星期日，2025年，2月5日主要内容同态与同构同态核环特殊环环的同构与同态域第2页，共23页，星期日，2025年，2月5日同态与同构本节研究的是一个代数系统与另外一个代数系统之间的关系，即撇开集合元素和运算的具体差异，只考虑两代数系统的运算性质上的差异，或者说在什么条件下两代数系统无差异或者相似。代数系统之间的这种相互关系是通过映射来反应的。映射有单射、满射和双射，相应本节讲的是单同态、满同态和同构以及性质。第3页，共23页，星期日，2025年，2月5日定义15.9设〈X，*〉与〈Y,о〉是两个代数系统，如在集合X与Y之间存在映射f：X?Y，使得对?a，b?X，有：f(a*b)=f(a)оf(b)则称f是从〈X，*〉到〈Y,о〉的同态映射，简称为同态，此时代数系统〈X，*〉与代数系统〈Y,о〉称为同态的，记为X∽Y。f(X)?Y称为X的一个同态象。如果第4页，共23页，星期日，2025年，2月5日f：X?Y是一个单射，则称f是从〈X,*〉到〈Y,о〉的单一同态；f：X?Y是一个满射，则称f是从〈X,*〉到〈Y,о〉的满同态；f：X?Y是一个双射，则称f是从〈X,*〉到〈Y,о〉的同构，记为X≌Y。若集合X=Y，则此时对应的同态和同构分别称为自同态、单一自同态、满自同态和自同构。第5页，共23页，星期日，2025年，2月5日例15-6.1证明代数系统〈R+，×〉与〈R，+〉是同构的。证明：设f：R+?R，且f（x）=ln（x），则：
1.f是一个R+?R的映射；2.对?y?R,均?x=ey?R+,使得f(x)=ln(x)=ln(ey)=y，所以f是一个满射；3.对?x?y?R+,有ln(x)?ln(y)，所以f是一个单射；
由1、2、3知：f是一个双射。4.对?x，y?R+，有：f(x×y)=ln(x×y)=ln(x)+ln(y)=f(x)+f(y)
由1、2、3、4知：f是一个双射且满足f(x*y)=f(x)оf(y)∴R+≌R第6页，共23页，星期日，2025年，2月5日例15-6.2在自然数加半群〈N，+〉与剩余类加群Z2，?之间定义映射f：N?Z2如下：证明f是N到Z2的满同态映射。证明：∵对?n1,n2?N，1）当n1和n2同奇偶时，f(n1+n2)=[0]，而f(n1)和f(n2)要么同为[0]，要么同为[1]，从而f(n1)?f(n2)=[0]；2）当n1和n2不同奇偶时，f(n1+n2)=[1]，而f(n1)和f(n2)中一个为[0]，一个为[1]，从而f(n1)?f(n2)=[1]；∴N～Z2，而显然是一个满射，所以，结论成立。第7页，共23页，星期日，2025年，2月5日性质定理15.15设〈X，*〉与〈Y,о〉是两个代数系统，f：X?Y是一个同态映射，则：1）如果运算‘*’在X中是封闭的?运算‘о’在f（X）?Y中是封闭的；2）〈X，*〉满足结合律?〈f（X）,о〉满足结合律；3）〈X，*〉满足交换律?〈f（X）,о〉满足交换律;4）〈X，*〉满足消去律?〈f（X）,о〉满足消去律；5）〈X，*〉存在幺元e1?〈f（X）,о〉存在幺元e2；6）〈X，*〉存在零元θ1?〈f（X）,о〉存在零元θ2；7）在X中每元关于运算‘*’有逆元?f（X）中每元关于运算‘о’有逆元。该定理说明同态映射不仅确定了不同集合元素间的对应关系，而且还保持了代数系统的运算性质。因此，能够建立同态映射的代数系统之间有着很大的一致性。第8页，共23页，星期日，2025年，2月5日定理15.16设〈X，*〉与〈Y，о〉是两个代数系统，f：X?Y是满同态，则：1)如果X是半群?Y是半群；2)如果X是群?Y是群。在同态映射下，像源的代数性质都为像集所具有。但是，像集所具有的代数性质却未必为像源所具有。（如Z2，?是群，而〈N，+〉不是群）如果f：X?Y是同构映射，则代数系统X与Y许多性质完全相同。而且代数系统之间的同构关系是等价关系。第9页，共23页，星期日，2025年，2月5日同态核下面通过考察像源中被映射到像集幺元的那些元素具有的代数特征来揭示同态的分类特征。定义15.10设f是群〈G，*〉到〈H，о〉的同态映射，令：K＝Kerf