复习专题06向量的概念与数量积
知识点1向量的基本概念与表示方法
1.向量的定义
把既有大小又有方向的量叫做向量
现实生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、电场强度等,有些量只有大小没有方向,如距离、身高、质量、时间、面积等,我们称为数量,又称为“标量”.
数学中的“向量”概念源于物理知识,向量不仅有丰富的几何内涵,向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构,可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理.·所以说,向量是几何和代数的一座天然桥梁.
数学中的向量与物理中的矢量是有区别的，在数学中，我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量.
2.向量的表示方法
(1)几何法
有向线段:在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点,为终点,我们就说线段具有方向.指定了方向的线段叫做有向线段.用有向线段的起点和终点上方加箭头的两个大写字母表示,如读作向量.
(2)代数法
用上方加箭头的小写字母表示,如、、
3.向量的模
任意向量的模都是非负数,所以向量的模可以比较大小
4.单位向量
模为1的向量叫做单位向量;与向量同方向的单位向量记作
5.零向量
规定模为0的向量叫做零向量,记作它的方向是任意的
向量的数形特征
向量既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法。
知识点2向量的基本关系
1.平行向量
2.相等的向量
3.负向量
(1)零向量的负向量仍是零向量.
(2)任意向量与其负向量的和是零向量.
知识点3向量的加法及运算法则
定义
求向量和的运算,叫做向量的加法
法则
平行四边形法则
前提
已知不平行的两个向量
作法
结论
图形
三角形法则
前提
已知非零向量
作法
结论
(两个向量的和仍是一个向量)
图形
规定
向量加法的交换律和结合律
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
(1)区别
三角形法则:①首尾相接;②适用于任何向量求和.
平行四边形法则:①共起点;②仅适用于不平行的两个向量求和.
(2)联系
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
知识点4向量的减法及几何意义
1.定义
向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用负向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算，
2.几何意义
文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量
知识点5实数与向量的乘法的定义及几何意义
实数λ与向量的乘积是一个向量,记作它的模和方向规定如下：
实数与向量乘法的几何意义,如图所示
知识点6实数与向量乘法的运算律
与非零向量同方向的单位向量叫做向量的单位向量,记作
向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算.
知识点7向量的夹角
向量夹角的情况如下表.
0
图形
关系
与的夹角为锐角
知识点8向量在向量方向上的投影向量与数量投影
知识点9向量的数量积
1.定义
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2.几何意义
3.向量数量积的性质
1.两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角是锐角、直角或钝角决定．对于两个非零向量与，夹角为：
知识点10平面向量数量积的运算律
设、和是向量，是实数，则
题型一、零向量与单位向量
例1（2425高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（???）
11（2324高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）
12（2223高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（???）
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
题型二、平行向量（共线向量）
例2（2425高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（???）
A．向量又称有向线段
B．平行向量一定相等
C．平行向量一定共线
D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量
21（2324高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题：
其中命题正确的个数（???）
A．0个 B．1个 C．2个