IB课程HL数学2024-2025年模拟试卷：函数解析与微积分在统计学中的分析
一、函数解析
要求：请根据以下函数表达式，完成下列各题。
1.已知函数\(f(x)=3x^2-4x+1\)，求：
a.\(f(2)\)的值；
b.函数的零点；
c.函数的对称轴。
2.设函数\(g(x)=\frac{1}{x^2+4}\)，求：
a.\(g(-2)\)的值；
b.函数的极值点；
c.函数的拐点。
二、微积分
要求：请根据以下函数，完成下列各题。
1.已知函数\(h(x)=e^{2x}-x\)，求：
a.\(h(x)\)的表达式；
b.\(h(x)\)的表达式；
c.求函数的极大值和极小值。
2.设函数\(k(x)=\ln(x+1)-x\)，求：
a.\(k(x)\)的表达式；
b.\(k(x)\)的表达式；
c.求函数的拐点。
三、统计学中的函数解析与微积分
要求：请根据以下统计数据，完成下列各题。
1.设某城市某年居民的平均月收入为\(\bar{x}\)，标准差为\(s\)，求：
a.标准正态分布下，居民月收入在\(\bar{x}+s\)以上的概率；
b.标准正态分布下，居民月收入在\(\bar{x}-2s\)到\(\bar{x}+s\)之间的概率；
c.标准正态分布下，居民月收入在\(\bar{x}-3s\)以下的概率。
2.设某城市某年居民的平均住房面积为\(\bar{y}\)，标准差为\(t\)，求：
a.标准正态分布下，居民住房面积在\(\bar{y}+t\)以上的概率；
b.标准正态分布下，居民住房面积在\(\bar{y}-2t\)到\(\bar{y}+t\)之间的概率；
c.标准正态分布下，居民住房面积在\(\bar{y}-3t\)以下的概率。
四、概率与统计推断
要求：请根据以下数据，完成下列各题。
1.某班级有30名学生，他们的数学考试成绩如下（单位：分）：
70,80,90,60,85,95,75,65,80,85,
90,70,75,80,85,90,70,60,80,75,
85,95,80,70,75,80,85,90,70,65,
80,85,90。
a.计算这组数据的平均数、中位数和众数；
b.计算这组数据的标准差；
c.判断这组数据是否呈正态分布，并给出理由。
2.在一项调查中，100名消费者对某产品的满意度评分如下（单位：分）：
4,5,6,7,8,9,10,6,7,8,
9,10,8,7,6,5,4,3,2,1,
3,4,5,6,7,8,9,10,9,8,
7,6,5,4,3,2,1。
a.计算这组数据的平均数、中位数和众数；
b.计算这组数据的标准差；
c.分析这组数据的分布特点，并给出解释。
五、假设检验
要求：请根据以下假设检验问题，完成下列各题。
1.某公司生产一种产品，已知其重量分布服从正态分布，均值为50克，标准差为2克。现从一批产品中随机抽取10件，测得重量分别为：
48,51,49,52,50,53,47,54,49,50。
a.进行假设检验，假设\(H_0:\mu=50\)，\(H_1:\mu\neq50\)，显著性水平为0.05；
b.计算检验统计量，并判断是否拒绝原假设。
2.某项调查结果显示，某地区居民的平均年收入为60000元，标准差为10000元。现从该地区随机抽取20户家庭，测得年收入分别为：
65000,55000,72000,63000,58000,61000,54000,62000,59000,67000,
68000,56000,64000,51000,66000,69000,53000,68000,57000,62000。
a.进行假设检验，假设\(H_0:\mu=60000\)，\(H_1:\mu\neq60000\)，显著性水平为0.05；
b.计算检验统计量，并判断是否拒绝原假设。
六、回归分析
要求：请根据以下回