是D的内点,所以与它对应的是的局部极小点.又根据一元函数极小点的必要条件,得到,即再由单位向量的任意性得.这里条件(2.5)仅仅是必要的,而不是充分的.例如在点处的梯度是,但是双曲面的鞍点,而不是极小点(如图2.2所示).第31页,共64页,星期日,2025年,2月5日定义2.12设是D的内点.若,则称为的驻点.定理2.4设具有连续二阶偏导数,是D的一个内点.若,并且是正定的,则是的严格局部极小点.第32页,共64页,星期日,2025年,2月5日证因为是正定矩阵,则必存在,使得对于所有的都有(参看高等代数二次型理论).现在将在点处按泰勒公式展开,并注意到,于是可得第33页,共64页,星期日,2025年,2月5日当充分接近(但)时,上式左端的符号取决于右端第一项,因此一般说来,这个定理仅具有理论意义.因为对于复杂的目标函数,Hesse矩阵不易求得,它的正定性就更难判定了.第34页,共64页,星期日,2025年,2月5日定理2.5若多元函数在其极小点处的Hesse矩阵是正定的,则它在这个极小点附近的等值面近似地呈现为同心椭球面族.证设是多元函数的极小点,并设是充分靠近极小点的一个等值面,即充分小.把在点展成泰勒表达式,即右端第二项因是极小点有而消失.如果略去第4项,那么又因为,所以(2.7)按假设正定,由二次型理论知式(2.7)是以为中心的椭球面方程.第35页,共64页,星期日,2025年,2月5日§2.5锥、凸集、凸锥
在本节中,给出维Euclid空间中的锥、凸集和凸锥的定义,以及与其相关的一些概念和性质.一、定义与简单性质定义2.13集合.若,及任意的数,均有,则称C为锥.定义2.14设是中的个已知点.若对于某点存在常数且使得,则称是的凸组合.若且,则称是的严格凸组合.第36页,共64页,星期日,2025年,2月5日定义2.15集合.若和,以及任-意的数,均有则称C为凸集.定义2.16设且,,则集合称为中的半空间.特别地,规定:空集是凸集.容易验证,空间、半空间、超平面、直线、点、球都是凸集.第37页,共64页,星期日,2025年,2月5日定理2.6任意一组凸集的交仍然是凸集.证设,其中I是的下标集,都是凸集.任取,则对于任意都是.任取且,因是凸集,有于是,即C是凸集.若集合C为锥,C又为凸集,则称C为凸锥.若C为凸集,也为闭集,则称C为闭凸集.若C为凸锥,也为闭集,则称C为闭凸锥.第38页,共64页,星期日,2025年,2月5日由数学归纳法不难证明如下的定理2