是D的内点，所以与它对应的是的局部极小点．又根据一元函数极小点的必要条件，得到，即再由单位向量的任意性得．这里条件（2.5）仅仅是必要的，而不是充分的．例如在点处的梯度是，但是双曲面的鞍点，而不是极小点（如图2.2所示）．第31页，共64页，星期日，2025年，2月5日定义2.12设是D的内点．若，则称为的驻点．定理2.4设具有连续二阶偏导数，是D的一个内点．若，并且是正定的，则是的严格局部极小点．第32页，共64页，星期日，2025年，2月5日证因为是正定矩阵，则必存在，使得对于所有的都有（参看高等代数二次型理论）．现在将在点处按泰勒公式展开，并注意到，于是可得第33页，共64页，星期日，2025年，2月5日当充分接近（但）时，上式左端的符号取决于右端第一项，因此一般说来，这个定理仅具有理论意义．因为对于复杂的目标函数，Hesse矩阵不易求得，它的正定性就更难判定了．第34页，共64页，星期日，2025年，2月5日定理2.5若多元函数在其极小点处的Hesse矩阵是正定的，则它在这个极小点附近的等值面近似地呈现为同心椭球面族．证设是多元函数的极小点，并设是充分靠近极小点的一个等值面，即充分小．把在点展成泰勒表达式，即右端第二项因是极小点有而消失．如果略去第4项,那么又因为，所以（2.7）按假设正定，由二次型理论知式（2.7）是以为中心的椭球面方程．第35页，共64页，星期日，2025年，2月5日§2.5锥、凸集、凸锥
在本节中，给出维Euclid空间中的锥、凸集和凸锥的定义，以及与其相关的一些概念和性质．一、定义与简单性质定义2.13集合．若，及任意的数，均有，则称C为锥．定义2.14设是中的个已知点．若对于某点存在常数且使得，则称是的凸组合．若且，则称是的严格凸组合．第36页，共64页，星期日，2025年，2月5日定义2.15集合．若和，以及任-意的数，均有则称C为凸集．定义2.16设且，，则集合称为中的半空间．特别地，规定：空集是凸集．容易验证，空间、半空间、超平面、直线、点、球都是凸集．第37页，共64页，星期日，2025年，2月5日定理2.6任意一组凸集的交仍然是凸集．证设，其中I是的下标集，都是凸集．任取，则对于任意都是．任取且，因是凸集,有于是，即C是凸集．若集合C为锥，C又为凸集，则称C为凸锥．若C为凸集，也为闭集，则称C为闭凸集．若C为凸锥，也为闭集，则称C为闭凸锥．第38页，共64页，星期日，2025年，2月5日由数学归纳法不难证明如下的定理2