2006.4.18.二、动态规划从数学的观点来说，动态规划方法是一种分析多段决定过程的数学方法，即解决多阶段决策过程最优化的一种方法。如：①河流与处理厂群的优化问题，约束条件为各段河流水质标准，目标函数为总处理费用最小，决策变量为各处理厂的处理效率。②废水处理工艺（多段处理）的最优处理流程选择。2006.4.18.动态规划方法尤其适用于离散问题，这是线性规划和其它非线性规划方法所不及的，且适用于具有序列结构系统的最优化。如河流（上游对下游水质有影响，下游却上游无影响）1、动态规划问题的特征：原始问题可分阶段。每个阶段可被赋给几种状态。（如不同的水质）2006.4.18.每个状态都对目标函数作出一份贡献。各段状态控制有序列递推关系，即在某个阶段，只要作出一个决定，就使该过程由所处阶段的状态变成相联阶段的一种状态。如某处理厂的处理效率决定了后，则该河段的水质控制成为其上一河段流下来的水质控制问题。2006.4.18.依一定顺序决定每一个阶段的最佳状态，最终可得原始问题的最优解。（依据Bellman最优性原理：每个阶段的最优决策具有那样的性质，无论是什么起始状态和决定，余下的决定必须构成一个关于由起始决定所得到的状态的一个最优决策。）无通用的解法必须针对具体问题建立动态规划数学模型，再按动态规划问题的特征来求解。2006.4.18.2、动态规划模型的建立以一个水污染控制系统规划问题为例（1）问题：设一河段上有三个集中排放口，河流的基本状况如下图所示，三个排放口由下游起往上游方向顺序编号，每个排放口均未治理，排放强度为q1l1、q2l2和q3l3.2006.4.18.2006.4.18.关于河流的数据Qin（流量）、x1、x2（河段长度）、u1、u2（流速）和k1（BOD5衰减速率常数）均已知，该河段为稳定流一维均匀河段，可以忽略弥散。在每个排放口断面处的关于BOD的水质标准已确定为L1s,L2s,L3s。现状由于排污不受限制，河流中的BOD已不符合标准。需要解决的问题是为了达到河流BOD标准的同时治理费用最低，决定各个排放口处要求的BOD去除率ηi（i=1,2,3）是多少。2006.4.18.（2）把问题抽象为一个动态规划数学模型。一般步骤如下：a．划分阶段在每个排放口处都要选择去除率，也即都要作出一个决定，而且在排放口断面处的河水由于废水的排入使BOD浓度发生突变，因而选定每个排放口断面位置作为一个阶段，定义i为阶段变量，则对于本例有三个阶段，i=1，2，3。2006.4.18.b．选定状态变量在本例中，每个阶段的决定（BOD去除率）都会影响河流中的BOD水平，河流把三个断面连贯起来，再加上已经确定了河流中的BOD标准，因此河水到达每个断面时的BOD浓度Li与当时要作的决定有直接关系，我们可以选择Li为状态变量（i=1，2，3），为了保证该断面达到标准，一旦作出对ηi的决定，也就确定了上游来水应有的BOD浓度Li。2006.4.18.c．选定决定变量决定变量取决于要决定的事情，在这里最终是要决定每个排放口的去除率，所以就可以选ηi为决定变量（i=1,2,3）d．确定状态变换函数对于动态规划问题，必须是前一阶段的状态是它后一阶段的状态和决定变量的函数2006.4.18.在本例中从下游往上游排列阶段，而下游阶段（在动态规划问题中是前一阶段）的状态Li的确是上游阶段（在动态规划问题中是下一阶段）的状态Li+1和决定变量是ηi+1的函数。若该河流可采用稳态S-P模型来描述BOD的迁移变化，而且X1、X2足够大，因而可忽略排放口混合段，则每个阶段的状态有以下关系：2006.4.18.2006.4.18.e.建立目标函数据本例要求，应把费用函数作为目标函数，对于每个排放口断面可以认为该处的治理费用仅与该断面的决定变量ηi有关，即Ci=g(ηi)当排水量和浓度不变时费用与去除率之间的关系可以是一个幂函数的关系：Ci=piηim（2）2006.4.18.第五章环境系统的最优化在对环境问题系统化后，对其中各子系统，各因素之间关系建立数学模型，有了系统化和模型化，便