流体力学六章课件*第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动若，即ωx=ωy=ωz=0，则流体的运动称为无旋运动或势流，若ω≠0。(至少有一个分量不为零)，则称为旋涡运动或有旋运动。判断流体运动是无旋还是有旋，不能从流体质点的轨迹来判别，而是要看流体微团本身是否旋转。旋涡运动是流体运动的一种基本形式。它存在于小到肉眼看不到的物体边壁附近极薄的边界层内及物体后面的尾流中，大到太阳系与宇宙星系中，它们都可利用涡系的生成与发展解释。本章首先介绍描述旋涡运动的一些基本概念——涡线、涡管、涡束、涡强与速度环量及其关系，然后叙述关于理想流体旋涡运动规律的几个定理——有关旋涡运动的运动学特性之亥姆霍兹(Helmholtz)第一定理(旋涡运动在空间的变化规律)，有关旋涡运动的动力学特性之汤姆生(Thomson)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、亥姆霍兹第二定理及第三定理(旋涡运动随时间的变化规律)，最后阐述关于旋涡在流体中诱导速度的毕奥—萨伐尔(Bion-Savart)定律。希望由此对流体旋涡运动的规律有个基本的了解，以便用于分析有关的理论与实际问题。*第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动§6-1涡线、涡管、涡束与涡强(涡通量)涡量场中涡线、涡管、涡束与涡强(涡通量)这些运动学概念最早是1843年由亥姆霍兹首先引入的，它们分别类似于速度场中的流线、流管、流速与流量。一、涡线涡线是涡量场中某瞬时作出的这样一条空间曲线，在该瞬时曲线上所有各点流体微团的旋转角速度矢量与该曲线相切(如图)。因为每点处角速度矢量方向是流体微团的旋转轴方向(按右手定则)，所以涡线也就是一群流体微团在给定瞬时围绕旋转的公共轴线。显然，涡线方程为*第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动式中是涡线上的微元矢量。在直角坐标中展开后可得到涡线方程，即其中旋转角速度分量ωx、ωy、ωz是以时间变量t为参变量。对于不同的t，就构成了涡线族方程组。涡线与流线类似，有如下性质:(1)定常流动时涡线的形状与位置不随时间改变;(2)一般情况下，任一瞬时过一点只能作一条涡线;(3)可以证明:理想流体定常流动时沿流线的伯努利积分亦适用于沿涡线的情形。*第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动但是，一般情况下涡线与流线不重合，而是相交。在流体作平面流动时，涡线流线处处正交，即同一点。涡量场与不可压缩流体的速度场一样，都是无源场(无散场)，这是因为:不可压缩流体的速度场中相应的涡量场中一、涡管、涡束与旋涡强度(涡通量)1.涡管在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，过曲线上每一点作涡线，这些涡线构成的管状表面称为涡管(如图)。若该封闭曲线所围面积无限小，则称为微元涡管。微元涡管中同一截面的流体微团以同一角速度旋转，但与刚体不同的是沿涡管方向不同截面的角速度是不相同的。*第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动※.涡面给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。涡线涡面涡管2.涡束涡管内所包含的旋转流体(或者说所有涡线的总和)称为涡束。3.旋涡强度(涡通量)旋涡的变化及其对周围流场的影响决定于旋涡旋转角速度及涡束内所含流体的多少(可用其截面积A来表示)。由此来定义通过微元涡管的旋涡强度(简称为涡强，又叫作涡通量)，*第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动式中，为微元面积dA的外法线单位矢量；ωn的是角速度矢量在方向的投影量。通过整个涡管之任一曲面A的旋涡强度(涡通量)为式中A不一定是某平面截面面积，也可是某曲面面积。旋涡强度的单位通常是m2/s。空间问题的涡通量平面问题的涡通量*第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日第六章流体的旋涡运动§6-2速度环量，斯托克斯定理一、速度环量1869年汤姆生(Thomson)引进一个与旋涡强度密切相关的速度环量的概念。利用斯