第一章空间向量与立体几何（复习讲义）
基础目标
能复述空间向量定义、坐标表示及线性运算规则，会推导数量积公式与坐标运算方法，能应用共线定理判断直线平行，理解并应用空间向量基本定理分解向量。基础题常考向量坐标运算、共线共面判断，如计算向量坐标或用基底表示向量，也能复述方向向量与法向量概念，用向量描述线线、线面、面面平行垂直，阶段考常见用坐标验证位置关系。
进阶目标
会推导空间向量夹角、距离公式，理解并应用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角，如建系算法向量夹角求二面角，高考中档题常考此。能应用向量法证明立体几何定理，通过坐标运算求体积、表面积，如用法向量算点面距离再求体积，阶段考常见用向量法证位置关系或算几何量。
拓展目标
理解并应用向量法解决探索性问题，如设参数求动点坐标验证线面垂直是否存在，高考压轴题常考。能将建筑结构等实际情境抽象为向量问题，用坐标或基底法分析位置与度量关系。
知识点
重点归纳
空
间
向
量
的
有
关
定
理
空
间
向
量
的
数
量
积
空
间
向
量
的
坐
标
表
示
直
线
的
方
向
向
量
和
平
面
的
法
向
量
（3）平面的法向量的求法：求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
⑤赋非零值：取其中一个为非零值（常取)；⑥得结论：得到平面的一个法向量.
空
间
位
置
关
系
的
向
量
表
示
空间中直线、平面的平行与垂直
设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则
空
间
角
的
向
量
求
法
（1）异面直线所成角
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
（2）直线和平面所成角
（3）平面与平面所成角（二面角）
空
间
距
离
的
向
量
求
法
（1）点到直线的距离
（2）点到平面的距离
（3）线面距离与面面距离
距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题
题型一
题型一空间向量及其运算
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得．
故选：D．
【答案】B
故选：B.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选：C
【答案】
故答案为：.
题型二
题型二共面向量定理
【答案】证明见解析
所以由向量共面定理可知，向量、、共面.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
故选：D.
【答案】/
故答案为：
(2)求证：，，，四点共面．
(2)证明见解析
必有，，，四点共面．
题型
题型三空间向量基本定理
【答案】
故答案为：.
【详解】
A． B． C． D．
【答案】A
故选：A
题型
题型四空间向量的坐标表示
【答案】/
故答案为：
A． B． C． D．
【答案】D
故选：D.
【答案】
故答案为：.
A．平行 B．垂直
C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为
【答案】A
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
故选：A.
题型
题型五空间向量与位置关系
【答案】ABD
故选：ABD．
【答案】D
故选：D.
【答案】证明见解析
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
题型
题型六求线线角、线面角、二面角
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接，
如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
【答案】(1)见解析
(2)
【答案】(1)证明见解析
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径，
题型
题型七已知线面角、二面角求其他
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，交于点，连接，.
【答案】(1)证明见解析
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
（2）
【答案】(1)证明见解析
(2)
题型
题型八空间中的距离问题
【答案】(1)证明见解析
(2)
A． B．
C． D．
【答案】C
设为异面直线与的公垂线段，
故选：C.
【点睛】方法点睛：在立体几何中，涉及求空间角和距离问题时，利用空间向量求解更简单些.
【答案】
【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系：
故答案为：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
题型
题型九存在性问题
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（2）法一：
建立空间直角坐标系如下图所示，
若，，，在同一个球面上，
在平面中，
法二：
∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等
作出和的垂直平分线，如下图所示，
由几何知识得，
由勾股定理得，
∴点即为