第一章空间向量与立体几何(复习讲义)
基础目标
能复述空间向量定义、坐标表示及线性运算规则,会推导数量积公式与坐标运算方法,能应用共线定理判断直线平行,理解并应用空间向量基本定理分解向量。基础题常考向量坐标运算、共线共面判断,如计算向量坐标或用基底表示向量,也能复述方向向量与法向量概念,用向量描述线线、线面、面面平行垂直,阶段考常见用坐标验证位置关系。
进阶目标
会推导空间向量夹角、距离公式,理解并应用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角,如建系算法向量夹角求二面角,高考中档题常考此。能应用向量法证明立体几何定理,通过坐标运算求体积、表面积,如用法向量算点面距离再求体积,阶段考常见用向量法证位置关系或算几何量。
拓展目标
理解并应用向量法解决探索性问题,如设参数求动点坐标验证线面垂直是否存在,高考压轴题常考。能将建筑结构等实际情境抽象为向量问题,用坐标或基底法分析位置与度量关系。
知识点
重点归纳
空
间
向
量
的
有
关
定
理
空
间
向
量
的
数
量
积
空
间
向
量
的
坐
标
表
示
直
线
的
方
向
向
量
和
平
面
的
法
向
量
(3)平面的法向量的求法:求一个平面的法向量时,通常采用待定系数法,其一般步骤如下:
⑤赋非零值:取其中一个为非零值(常取);⑥得结论:得到平面的一个法向量.
空
间
位
置
关
系
的
向
量
表
示
空间中直线、平面的平行与垂直
设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为,,则
空
间
角
的
向
量
求
法
(1)异面直线所成角
设异面直线和所成角为,其方向向量分别为,;则异面直线所成角向量求法:
(2)直线和平面所成角
(3)平面与平面所成角(二面角)
空
间
距
离
的
向
量
求
法
(1)点到直线的距离
(2)点到平面的距离
(3)线面距离与面面距离
距离求法:①首先确定直线与平面平行(平面与平面平行),然后可将问题转化成点到平面的距离问题
题型一
题型一空间向量及其运算
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【详解】由正方体,空间向量的加法法则可得.
故选:D.
【答案】B
故选:B.
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】
故选:C
【答案】
故答案为:.
题型二
题型二共面向量定理
【答案】证明见解析
所以由向量共面定理可知,向量、、共面.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
故选:D.
【答案】/
故答案为:
(2)求证:,,,四点共面.
(2)证明见解析
必有,,,四点共面.
题型
题型三空间向量基本定理
【答案】
故答案为:.
【详解】
A. B. C. D.
【答案】A
故选:A
题型
题型四空间向量的坐标表示
【答案】/
故答案为:
A. B. C. D.
【答案】D
故选:D.
【答案】
故答案为:.
A.平行 B.垂直
C.所成的角的余弦值为 D.所成的角的余弦值为
【答案】A
【详解】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
故选:A.
题型
题型五空间向量与位置关系
【答案】ABD
故选:ABD.
【答案】D
故选:D.
【答案】证明见解析
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】(1)证明:如图,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
题型
题型六求线线角、线面角、二面角
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)方法一:如图,连接交与点,连接,
如图,以点为坐标原点,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,
【答案】(1)见解析
(2)
【答案】(1)证明见解析
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【详解】(1)因为是底面圆上的一条直径,
题型
题型七已知线面角、二面角求其他
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)连接,交于点,连接,.
【答案】(1)证明见解析
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)
(2)
【答案】(1)证明见解析
(2)
题型
题型八空间中的距离问题
【答案】(1)证明见解析
(2)
A. B.
C. D.
【答案】C
设为异面直线与的公垂线段,
故选:C.
【点睛】方法点睛:在立体几何中,涉及求空间角和距离问题时,利用空间向量求解更简单些.
【答案】
【详解】由题意,建立如图所示空间直角坐标系:
故答案为:.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
题型
题型九存在性问题
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(2)法一:
建立空间直角坐标系如下图所示,
若,,,在同一个球面上,
在平面中,
法二:
∵,,,在同一个球面上,∴球心到四个点的距离相等
作出和的垂直平分线,如下图所示,
由几何知识得,
由勾股定理得,
∴点即为