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文件名称:第一章空间向量与立体几何(复习讲义)数学人教B版2019选择性.docx
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更新时间:2025-07-01
总字数:约3.42千字
文档摘要

第一章空间向量与立体几何(复习讲义)

基础目标

能复述空间向量定义、坐标表示及线性运算规则,会推导数量积公式与坐标运算方法,能应用共线定理判断直线平行,理解并应用空间向量基本定理分解向量。基础题常考向量坐标运算、共线共面判断,如计算向量坐标或用基底表示向量,也能复述方向向量与法向量概念,用向量描述线线、线面、面面平行垂直,阶段考常见用坐标验证位置关系。

进阶目标

会推导空间向量夹角、距离公式,理解并应用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角,如建系算法向量夹角求二面角,高考中档题常考此。能应用向量法证明立体几何定理,通过坐标运算求体积、表面积,如用法向量算点面距离再求体积,阶段考常见用向量法证位置关系或算几何量。

拓展目标

理解并应用向量法解决探索性问题,如设参数求动点坐标验证线面垂直是否存在,高考压轴题常考。能将建筑结构等实际情境抽象为向量问题,用坐标或基底法分析位置与度量关系。

知识点

重点归纳

线

(3)平面的法向量的求法:求一个平面的法向量时,通常采用待定系数法,其一般步骤如下:

⑤赋非零值:取其中一个为非零值(常取);⑥得结论:得到平面的一个法向量.

空间中直线、平面的平行与垂直

设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为,,则

(1)异面直线所成角

设异面直线和所成角为,其方向向量分别为,;则异面直线所成角向量求法:

(2)直线和平面所成角

(3)平面与平面所成角(二面角)

(1)点到直线的距离

(2)点到平面的距离

(3)线面距离与面面距离

距离求法:①首先确定直线与平面平行(平面与平面平行),然后可将问题转化成点到平面的距离问题

题型一

题型一空间向量及其运算

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】D

【详解】由正方体,空间向量的加法法则可得.

故选:D.

【答案】B

故选:B.

A. B. C. D.

【答案】C

【详解】

故选:C

【答案】

故答案为:.

题型二

题型二共面向量定理

【答案】证明见解析

所以由向量共面定理可知,向量、、共面.

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】D

故选:D.

【答案】/

故答案为:

(2)求证:,,,四点共面.

(2)证明见解析

必有,,,四点共面.

题型

题型三空间向量基本定理

【答案】

故答案为:.

【详解】

A. B. C. D.

【答案】A

故选:A

题型

题型四空间向量的坐标表示

【答案】/

故答案为:

A. B. C. D.

【答案】D

故选:D.

【答案】

故答案为:.

A.平行 B.垂直

C.所成的角的余弦值为 D.所成的角的余弦值为

【答案】A

【详解】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

故选:A.

题型

题型五空间向量与位置关系

【答案】ABD

故选:ABD.

【答案】D

故选:D.

【答案】证明见解析

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)证明:如图,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,

题型

题型六求线线角、线面角、二面角

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】(1)方法一:如图,连接交与点,连接,

如图,以点为坐标原点,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,

【答案】(1)见解析

(2)

【答案】(1)证明见解析

【答案】(1)证明见解析;

(2)

【详解】(1)因为是底面圆上的一条直径,

题型

题型七已知线面角、二面角求其他

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】(1)连接,交于点,连接,.

【答案】(1)证明见解析

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】(1)

(2)

【答案】(1)证明见解析

(2)

题型

题型八空间中的距离问题

【答案】(1)证明见解析

(2)

A. B.

C. D.

【答案】C

设为异面直线与的公垂线段,

故选:C.

【点睛】方法点睛:在立体几何中,涉及求空间角和距离问题时,利用空间向量求解更简单些.

【答案】

【详解】由题意,建立如图所示空间直角坐标系:

故答案为:.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

题型

题型九存在性问题

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(2)法一:

建立空间直角坐标系如下图所示,

若,,,在同一个球面上,

在平面中,

法二:

∵,,,在同一个球面上,∴球心到四个点的距离相等

作出和的垂直平分线,如下图所示,

由几何知识得,

由勾股定理得,

∴点即为