1.1.2空间向量的数量积运算导学案
(1)掌握空间向量的夹角的概念,培养数学抽象的核心素养.
(2)掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律,提升数学抽象的核心素养.
(3)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,培养直观想象的核心素养.
(4)能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题,强化数学运算的核心素养.
重点:掌握空间向量的夹角的概念、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律,了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
难点:能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.
第一环节回顾引入
回顾平面向量夹角和数量积的定义:
思考:类比平面向量的知识,空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢?
第二环节合作探究
探究1:类比平面向量,如何得出空间向量夹角的概念?
平面向量的概念
空间向量的概念
牛刀小试:
练1:(多选)下列命题是真命题的是(????)
A.任何两个空间向量之间都有夹角
B.当两个非零向量同向时,它们的夹角为0,反向时,它们的夹角为π
C.若a,b=π2,
D.两个非零向量a,b,a,b与
练2:如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D
A.AB与A1C
B.AB与C1
C.AB与A1
D.AB与B
探究2:类比平面向量,如何得出空间向量数量积的定义?
平面向量的表示法
空间向量的表示法
特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
已知两个非零向量,,则叫做,的,记作.
特别地,零向量与任意向量的数量积为.
牛刀小试:
练3:已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下
(1)a与b的夹角为60°;(2)a与b的夹角为150°;(3)a⊥b;(4
练4:已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下
探究3:在平面向量中我们学习过投影向量的概念,回顾什么是投影向量,你能把它推广到空间向量中吗?
平面向量的投影
探究4:在空间,向量a向向量b投影有什么几何意义?
探究5:在空间,向量向平面β投影有什么几何意义?
牛刀小试:
练5:已知向量a,b,a=6,b=8,a,b=120°,则a在b方向上的投影向量为,b
探究6:类比平面向量数量积运算的运算律,空间向量的数量积运算有哪些运算律?如何证明?
平面向量数量积运算律
空间向量数量积运算律
要求:请同学们课后给出运算律的证明
牛刀小试:
练6:下列说法错误的是(????)
A.设a,b是两个空间向量,则
B.设a,b
C.设a,b,
D.设a,b
方法总结:求数量积的两种情况及方法
(2)在几何体中求空间向量的数量积:先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.再利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.
变式练习:
在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则OG·(OA+OB+OC
题型一:空间向量数量积的运算
2.如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于a,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点.求:
方法总结:空间向量数量积运算的求解方法
利用定义,直接利用a·b=|a||b|cosa,b并结合运算律进行计算.
利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
代入a·b=|a||b|cosa,b求解.
题型二:利用数量积求解距离,角度等几何元素
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
方法总结:1.求空间向量的模有两种方法
一是平方法,即利用|a|2=a·a,其实质是转化为数量积求解;
二是坐标法,即利用公式|a|=eq\r(x2+y2+z2).
2.向量夹角与异面直线所成角
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用数量积求夹角的余弦值:
方法总结:利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法:证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法:先用向量a,b,c表示向量m,n,再求解向量m,n的数量积判断是否垂直.
1.(2324高二上·北京房山·期中)
在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1
A.22 B.42 C