1.1.2空间向量的数量积运算导学案
（1）掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．
（2）掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．
（3）了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．
（4）能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.
重点：掌握空间向量的夹角的概念、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
难点：能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.
第一环节回顾引入
回顾平面向量夹角和数量积的定义：
思考：类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？
第二环节合作探究
探究1：类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？
平面向量的概念
空间向量的概念
牛刀小试：
练1：（多选）下列命题是真命题的是（????）
A．任何两个空间向量之间都有夹角
B．当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π
C．若a,b=π2，
D．两个非零向量a，b，a,b与
练2：如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D
A．AB与A1C
B．AB与C1
C．AB与A1
D．AB与B
探究2：类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？
平面向量的表示法
空间向量的表示法
特别地，零向量与任意向量的数量积为0．
已知两个非零向量，，则叫做，的，记作．
特别地，零向量与任意向量的数量积为．
牛刀小试：
练3：已知|a|=4,|b|=5，分别求下列条件下
(1)a与b的夹角为60°；(2)a与b的夹角为150°；(3)a⊥b；(4
练4：已知|a|=4,|b|=5，分别求下列条件下
探究3：在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？
平面向量的投影
探究4：在空间，向量a向向量b投影有什么几何意义？
探究5：在空间，向量向平面β投影有什么几何意义？
牛刀小试：
练5：已知向量a，b，a=6，b=8，a,b=120°，则a在b方向上的投影向量为，b
探究6：类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
平面向量数量积运算律
空间向量数量积运算律
要求：请同学们课后给出运算律的证明
牛刀小试：
练6：下列说法错误的是（????）
A．设a,b是两个空间向量，则
B．设a,b
C．设a,b,
D．设a,b
方法总结：求数量积的两种情况及方法
(2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
变式练习：
在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,点G为△ABC的重心,则OG·(OA+OB+OC
题型一:空间向量数量积的运算
2．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
方法总结：空间向量数量积运算的求解方法
利用定义,直接利用a·b=|a||b|cosa,b并结合运算律进行计算.
利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
代入a·b=|a||b|cosa,b求解.
题型二：利用数量积求解距离，角度等几何元素
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
方法总结：1．求空间向量的模有两种方法
一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解；
二是坐标法，即利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).
2．向量夹角与异面直线所成角
(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：
方法总结：利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直．
1.（2324高二上·北京房山·期中）
在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1
A．22 B．42 C