复数数系扩充问题研究
目录
1绪论2
1.1选题背景2
1.2研究的问题2
1.3群、环和域3
2数域的扩张4
2.1数的理论扩充4
2.2实数域错误!未定义书签。
2.3实数到复数5
3复数9
3.1复数的四则运算9
3.2复数域5
4复数的其它表形式11
4.1复数的三角表式11
4.2复数的指数表式11
5复数的应用举例12
5.1利用复数简化问题12
6四元数14
参考文献:17
摘要：数的产生方便了我们的生活，古往今来，数不断的在扩充，目前所学习的数已
经从整数扩充到了复数.本篇文章就关于复数域的扩张进行研究和论述.采用文献综述法
与分析法从复数产生的历史背景，数系扩充的条件，从实数域出发阐述复数域是如何从实
数域扩充的，以及复数的推广.
关键词:数域；域的扩张；复数域
复数域史扩充综述
1绪论
复数域的扩充是一个漫长而复杂的过程，起初人类为了记录物体的数量而产生了数,
目前数的发展历经了自然数，整数，有理数，实数再到复数这几个过程，而在近代开始
慢慢产生数域的理论，目前所学的数域包括有理数域，实数域和复数域.那么本文在参考
借鉴他人的经验基础上，以及查阅相关文献资料后详细阐述复数域的扩充
1-1选题背景
从算术之初，我们就知道，实数经过加减乘除仍然是实数，并且通常会遇到交换律、结
合律、分配律等，即所有的实数构成了现在所说的“域〃.但是，长期以来，也没有从集合的
角度把实数作为一个整体来考虑也没有启用抽象的公里定义它，更没有形成域的概念.域
的具体概念在19世纪末开始形成，历史上数域的发展过程对数学这一学科产生了十分重
要的影响，发展至今,我们所熟知的已经有实数域，实数域和复数域.
数的产生方便了人们的生活，比如正整数方便了人类计数,负数能区分正反方向，无理
数的产生反驳了万物公比的理论.然而随着时代的进步，产生新的数不单单只是为了服务
于人类，比如复数的产生?域是在群和环的基础上提出来的.对于四则运算封闭的数的集合
叫做域.本篇文章主要描述复数,复数域，以及复数域史扩充综述.
1.2研究的问题
本研究以数系的扩充历史以及数域的扩张为前提进行复数域史的扩张分析研究.其
中主要研究复数域在实数域上的扩张
1.3群、环和域
域的在交换环的基础上产生，环的交换群的基础上产生，而群则作为最基本的.下面将
具体介绍群，环和域.
以下介绍的群、环、域都是满足运算封闭的.
1.3.1群
定义非空集合G的代数运算满足以下条件：
1、结合律成立：HeG
(ab)c=a(bc)
2、G中有元素e,叫做G的左单元，它对G中的每一个元素。都有
ea—a
3、\/aeG在G中都有元素/为。的左逆元使
aT1a—e
则称G对这个代数运算作成一个群
如果对群G的任意两个元素均有
ab-ba
则称G为交换群或Abel群⑹.
1.3.2环
定义:设非空集合有两个代数运算，(且a,b,c为R中任意元素)加法和乘法，如果
1、R对加法作成一个加群；
2、R对乘法满足结合律
(ab)c=a(bc)
3、乘法对加法满足左右分配律
a(Jb+c)=沥+加，(/?+c)a=ba+ca
则称R对这两个代数运算作成一个环.
根据这个定义，凡数环都是环
如果环的乘法满足交换律，即对任意的元素。，都有