3.2.2几类不同增长的函数模型
（一）教学目标
1．知识与技能
利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.
2．进程与方法
在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.
（二）教学重点与难点
重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升
难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
回顾复习
引入深题
①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论.
师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.
生：回顾总结，口述回答.
以旧引新导入课题
实例分析
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
师生合作探究解答过程
例1解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x–1(x∈N*)进行描述.
三种方案所得回报的增长情况
x/天
方案一
y/元
增加量/元
1
40
2
40
0
3
40
0
4
40
0
5
40
0
6
40
0
7
40
0
8
40
0
9
40
0
10
40
0
…
…
…
30
40
0
x/天
方案二
y/元
增加量/元
1
10
2
20
10
3
30
10
4
40
10
5
50
10
6
60
10
7
70
10
8
80
10
9
90
10
10
100
10
…
…
…
30
300
10
x/天
方案三
y/元
增加量/元
1
0.4
2
0.8
0.4
3
1.6
0.8
4
3.2
1.6
5
6.4
3.2
6
12.8
6.4
7
25.6
12.8
8
51.2
25.6
9
102.4
51.2
10
204.8
102.4
…
…
…
30
214748364.8
107374182.4
再作三个函数的图象
在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
例2解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象.
观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有
成立.
令f(x)=log7 x+1–0.25x，x∈[10,1000]
将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习
1．四个变量y1 ，y2 ，y3 ，y 4随变量x变化的数据如下表
x
0
5
10
15
y1
5
130
505
1130
y2
5
94.478
1