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文件名称:期末复习专题03导数在研究函数中的应用_1.docx
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更新时间:2025-07-01
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期末复习专题03导数在研究函数中的应用

内容导图

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考点清单总结

考点清单总结

考点清单1导数的相关概念

一、平均速度

求物体运动的平均速度的主要步骤

(1)计算位移的改变量s(t2)s(t1).

(2)计算时间的改变量t2t1.

(3)得平均速度v=s

二、瞬时速度

1.瞬时速度:物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

2.瞬时速度与平均速度的关系:从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度v就无限趋近于t=t0时的瞬时速度.

3.瞬时速度的计算:设物体运动的时间与位移的函数关系式为y=h(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为limΔ

三、导数的概念

1.平均变化率

对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)f(x0).我们把比值ΔyΔx,即ΔyΔx=f(x0+Δx)?f(x

2.导数

如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f(x0)或y|x=x0

3.导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f(x0).相应地,切线方程为yf(x0)=f(x0)(xx0).

四、导函数(导数)

导函数的定义

从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数记作f(x)或y,即f(x)=y=limΔ

考点清单2基本初等函数的导数公式

一、基本初等函数的求导公式

基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)=c(c为常数)

f(x)=0

f(x)=xα,(α∈R,且α≠0)

f(x)=αxα1

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x)=cosx

f(x)=sinx

f(x)=ax(a0,且a≠1)

f(x)=axlna

f(x)=ex

f(x)=ex

f(x)=logax(a0,且a≠1)

f(x)=1

f(x)=lnx

f(x)=1

二、基本初等函数的求导法则

1.f(x)±g(x)的导数

两个函数和或差的导数:[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x).

注意点:推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]=f1(x)±f2(x)±…±fn(x).

2.f(x)g(x)和f(

(1)[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x),特别地,[cf(x)]=cf(x).

(2)f(x)g(x)

(3)注意点:对于(logax)=1xlna,我们可以先换底再求导:(logax)=lnxlna=1ln

三、利用导数研究曲线的切线方程

(1)在某点处的切线方程的步骤

(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤

考点清单3复合函数

一、复合函数的概念

一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).

二、复合函数的导数

1.复合函数的求导法则

一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yu·ux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

2.注意点:(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构;(2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则;(3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导.

3.求复合函数的导数的步骤

考点清单4利用导数求函数单调性

一、函数的单调性与导数的关系

定义在区间(a,b)上的函数y=f(x):

f(x)的正负

f(x)的单调性

f(x)0

单调递增

f(x)0

单调递减

注意点:(1)在某个区间上恒有f(x)=0,f(x)是常函数;(2)原函数的图象只看增(减)的变化,导函数的图象只看正(负)变化.

二、利用导数求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间的一般步骤

(1)确定函数y=f(x)的定义域.

(2)求出导数f(x)的零点.

(3)用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)的单调区间

三、求含参数的函数的单调区间

(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影