IB课程HL数学2024-2025年模拟试卷：微积分在经济学中的应用解析
一、函数与极限
1.设函数$f(x)=\frac{3x^2-5x+2}{x-2}$，求$f(x)$在$x=2$处的极限。
2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$。
3.设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
4.设函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$。
5.设函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$，求$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$。
二、导数与微分
1.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$。
2.设函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$f(x)$。
3.设函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$。
4.设函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$，求$f(x)$。
5.设函数$f(x)=e^x\sinx$，求$f(x)$。
三、应用题
1.某商品的原价为$p$元，售价为$p+\frac{1}{5}p$元，求售价与原价的关系。
2.某商品的售价为$p$元，成本为$c$元，利润为$p-c$元，求利润与成本的关系。
3.某商品的售价为$p$元，需求量为$q$，求需求量与售价的关系。
4.某商品的售价为$p$元，成本为$c$元，利润为$p-c$元，求利润与成本的关系。
5.某商品的售价为$p$元，需求量为$q$，求需求量与售价的关系。
四、微分方程
1.设函数$y=f(x)$满足微分方程$\frac{dy}{dx}=2x^2+3x-1$，且$y(0)=1$，求$y$的表达式。
2.求解微分方程$\frac{dy}{dx}=3x^2-2y$，初始条件为$y(0)=2$。
3.解微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}y$，初始条件为$y(1)=e$。
4.求解微分方程$\frac{dy}{dx}=e^{2x}y$，初始条件为$y(0)=1$。
5.设函数$y=f(x)$满足微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3}{x^2-1}$，且$y(2)=5$，求$y$的表达式。
五、积分
1.计算定积分$\int(2x^3-5x^2+3x-1)\,dx$。
2.求解不定积分$\int\frac{1}{x^2+1}\,dx$。
3.计算定积分$\int_0^2(x^2-3x+2)\,dx$。
4.求解不定积分$\inte^x\cosx\,dx$。
5.计算定积分$\int_1^3\sqrt{x}\,dx$。
六、数学建模
1.假设某商品的售价与需求量之间的关系可以用函数$p(q)=50-2q$描述，其中$p$是售价，$q$是需求量。求该商品的最大利润以及对应的需求量。
2.某工厂生产一种产品，其固定成本为$2000$元，每生产一件产品的可变成本为$10$元。若每件产品的售价为$50$元，求工厂的盈亏平衡点。
3.设某商品的需求量$q$与价格$p$之间的关系为$q=100-2p$。若每单位产品的生产成本为$10$元，求该商品的最小利润以及对应的价格。
4.某公司计划在一年内投资$10000$元，投资回报率随时间呈线性增长。若第一年回报率为$10\%$，求第五年的回报率。
5.某公司计划在一段时间内进行广告宣传，广告效果可以用函数$f(t)=50e^{-0.1t}$描述，其中$t$是时间（单位：月）。若公司希望广告效果至少达到$30$，求需要宣传的时间。
本次试卷答案如下：
一、函数与极限
1.解析：由于分母$x-2$在$x=2$处为零，故需使用洛必达法则。计算得：
$$\lim_{x\to2}\frac{3x^2