*第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日格和布尔代数格与布尔代数：它们都是具有两个二元运算的代数系统，这两个代数系统与前面讨论的代数系统之间存在着一个重要区别：在格与布尔代数中，偏序关系具有重要意义。为了强调偏序关系的作用，我们将分别从偏序集和代数系统两个方面引入格的概念，给格附加一定的限制之后，格就转化为布尔代数，即布尔代数是特殊的格。第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日格和布尔代数起源与发展:布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究出现的。英国哲学家布尔(GeorgeBoole)于1847年利用数学方法研究了类与类(集合与集合)之间的关系法则。他的研究后来发展成为一个数学分支—布尔代数。自布尔之后，许多数学家对布尔代数一般化作了努力。在奠基工作方面，丰廷顿(E.V.Huntington)、雪弗尔(H.M.Sheffer)和斯通(M.H.Stone)都作出了贡献。毕克霍夫(GarrettBirkhoff)和麦克朗(SaundersMaclane)的研究进一步使布尔代数得到严谨的处理。第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日格和布尔代数格是一种兼有序和代数的重要结构，它和模糊数学等现代数学有十分紧密的联系；格与布尔代数具体应用：格与布尔代数在计算机科学中具有非常重要的应用。如在保密学、计算机语义学、开关理论、计算机理论和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中都直接应用了格与布尔代数。第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日格和布尔代数格(lattice)在闪存(flashmemory)编码中的应用:第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日格的定义与基本性质格的两种定义11子格和格同态2主要内容:格的定义和性质重点:重点和难点:格的两种定义难点:第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、格的两种定义预备知识：1.若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的、传递的，则称R为A上的偏序，记为A,≤。2设A,≤是一偏序集合,B?A(i)若a∈A，对于每一x∈B,均有x≤a,称a∈A为B的上界；(ii)若b∈A，对于每一x∈B,均有b≤x,称b∈A为B的下界；(iii)c为B的上界,若对B的任一上界c,均有c≤c,称c为B的上确界(最小上界)；(iv)d为B的下界，若对B的任一下界d,均有d≤d,称d为B的下确界(最大下界)。第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、格的两种定义偏序格的定义：设L,≤是一偏序集合,若对于任意a,b∈L,{a,b}均有上确界(最小上界)和下确界(最大下界),则称此偏序集合L,≤为格。第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、格的两种定义代数格的引入：设L,≤是一偏序集合，在L上定义两运算*与⊕如下,即对任意a,b∈L：a*b={a,b}的下确界=glb{a,b}保交a⊕b={a,b}的上确界=lub{a,b}保联那么L,*,⊕是代数吗？例1：I+,整除对任意a,b∈I+,有a*b={a,b}的下确界=GCD{a,b}(a,b的最大公约数)a⊕b={a,b}的上确界=LCM{a,b}(a,b的最小公倍数)第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、格的两种定义代数格的定义：设L,*,⊕是代数系统,*和⊕是载体L上的二元运算,若满足(1)交换律a*b=b*aa⊕b=b⊕a(2)结合律a*(b*c)=(a*b)*ca⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c(3)吸收律a⊕(a*b)=aa*(a⊕b)=a则称L,*,⊕是代数格。事实上代数格也满足等幂律，a⊕a=a,a*a=a,由吸收律可推出等幂律,因为a*a=a*(a⊕(a*a))=a。类似地可证a⊕a=a。例3(1)S={a,b,c},ρ(S),∩,∪为代数格；(2)定义X:由命题变元p1