专题4??条件概率与全概率公式【讲*人教A版】
【必备知识】
事件的相互独立性
2.相互独立的性质：如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立.
【考向归类】
考向一：相互独立事件的判断
【答案】B
故选：B.
【备考提醒】
判断事件是否相互独立的方法
2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
【举一反三】
（2026高三·全国·专题练习）
1．设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（???）
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假；
对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假.
故选：B.
（2425高二下·山西·期中）
2．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（????）
【答案】B
故选：B.
考向二：相互独立事件的乘法公式
【典例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（）
A．????B．????C．????D．
【答案】D
故选：D.
【备考提醒】
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题策略
1.将待求的复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和；
2.将彼此互斥的简单事件中的简单事件转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件；
3.代入概率的积、和公式求解.
【举一反三】
（2425高二下·河北沧州·期中）
A． B． C． D．
【答案】A
故选：A.
（2025高三·全国·专题练习）
4．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（????）
【答案】B
【分析】列举出第次是丙投篮的所有情况，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的加法公式可求得所事件的概率.
【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示：
第1次投篮
第2次投篮
第3次投篮
第4次投篮
第5次投篮
情况1
甲（投中）
甲（投中）
甲（未投中）
乙（未投中）
丙
情况2
甲（投中）
甲（未投中）
乙（投中）
乙（未投中）
丙
情况3
甲（未投中）
乙（投中）
乙（投中）
乙（未投中）
丙
情况4
甲（投中）
甲（未投中）
乙（未投中）
丙（投中）
丙
情况5
甲（未投中）
乙（投中）
乙（未投中）
丙（投中）
丙
情况6
甲（未投中）
乙（未投中）
丙（投中）
丙（投中）
丙
故选：B.
考向三：相互独立事件的实际应用
【答案】C
【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错；
单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为，
D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为，
故选：C
【备考提醒】
判断事件相互独立，一般用定义判断.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：
1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
2.正面计算较繁（如求用“至少”表达的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【举一反三】
（2025高三·全国·专题练习）
【答案】C
故选：C.
（2425高二下·辽宁·期中）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
故选：B
【必备知识】
1.条件概率.
【考向归类】
考向一：计算条件概率
【典例1】（2425高二下·江苏盐城·期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（）
A．????B．????C．????D．
【答案】C
【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
记事件从中任取一个数，这个数能被整除，
4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选，
4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为，
故选：C.
【备考提醒】
解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概率，则进行第二步，计算概率.
【举一反三】
（2425高二下·山东临沂·期中）
A． B