随机变量及其分布列
一、知识点回顾
条件概率和全概率
独立事件的
概率
相互独立
事件的概念
独立事件的
概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
事件的
独立性
条件概率
1．概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
2．两个公式
(1)利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?)；
(2)利用概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
全概率公式
我们称上面的公式为全概率公式．
[常用结论]
1．若事件A和B是相互独立事件，则A和eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))和B、eq\o(A,\s\up6(－))和eq\o(B,\s\up6(－))也是相互独立事件．
2．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
3．全概率公式的特例：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))．
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的分布列
1．对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量．
2．一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)为X的概率分布列，简称分布列．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示．且具有如下性质：
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
eq\x(P?X＝k?＝\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.)
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
[注意]
超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数．主要特征为：
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型
写离散型随机变量的分布列的步骤
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
离散型随机变量的数字特征
离散型随机变量
的数字特征
均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，（pi为随机变量X的均值或数学期望）．
它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
方差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D?X?)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
[注意]
?1?随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D?X?越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D?X?越小，X的取值越集中在E?X?附近；
?2?方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
[常用结论]
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X