两种子午线长度正反算公式及相应系数值
杨国清李晓
（郑州测绘学校河南郑州450015）
TwoFormulasAndRelevantCoefficietsForComputingTheLenthOfMeridian
YangGuoqingLiXiao
摘要：本文给出了两种高精度的子午线长度直接正反算公式，以及公式中相应于四种椭
球的系数值。
关键词：子午线长度；正反算；公式系数
在大地测量的高斯投影计算中，需要计算中央子午线上纬度为B的点到赤道的子午线
弧长S，或者说纵坐标X的值（常记作XB）；而在高斯投影反算中，需要计算中央子午线
0
上坐标为X的点所对应的纬度（常记作B）。所以，子午线弧长计算及其反算是经常要进
f
行的计算工作。这个问题其实是个老问题，已有解决方法；但老问题的解决方法也常有需要
完善和补充的地方。例如，一些书上提供了B→S的正算公式,而S→B的反算则是告诉
要用迭代的方法计算；而迭代计算给人一种不直观的感觉，不便手工计算，即使是用计算机
编程计算，相对于直接计算公式，迭代计算编程时也更加麻烦。文献[2],[3],[4]各给出了一种
直接的反算公式。文献[3]未给出公式推导过程；文献[2]和[4]都是采用某种迭代法来获得式
中所需的系数值。三文献都只给出了公式中所需的与54坐标系椭球和80坐标系椭球相应的
系数值，而现在常用的WGS84的椭球和我国2000坐标系椭球的相应系数值则不见公开发
表。本文给出了两种形式的直接计算公式，提出了有别于前述文献的公式系数计算方法。笔
者计算了两种公式中常用椭球的子午线弧长正反算有关系数值，借此文奉献给读者。
一、公式推导
1.倍角型公式的推导
（1）正算公式（B→S）的推导
纬度为B的点至赤道间的子午线弧长S的积分计算公式为
B
222?32
?
S?a(1?e)(1?esinB)dB（1）
0
此式无法直接积分，将被积函数按泰勒级数展开
31535315
22?3222446688
(1?esinB)?1?esinB?esinB?esinB?esinB?
2816128
693
1010
esinB??（2）
256
为了积分方便，把sinB的各偶次乘方化为倍角的余弦函数，再进行合并整理，可把上
式化成下面的形式
22?32
?????????
(1esinB)ABcos2BCcos4BDcos6BEcos8BFcos10B(3)
式中的A,B,C,D,E,F为与椭球元素有关的常系数，稍后再给出其表达式。
将（3）式代入（1）式
B