诱导公式题目及答案解析
一、选择题
1.已知\(\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\)，求\(\sin(\pi-\alpha)\)的值。
A.\(\frac{1}{2}\)
B.\(-\frac{1}{2}\)
C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
答案：A
解析：根据诱导公式，\(\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)\)，因为正弦函数在\(\pi\)的范围内是对称的。所以，\(\sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha)=\frac{1}{2}\)。
2.若\(\cos(\beta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\cos(-\beta)\)的值。
A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C.\(\frac{1}{2}\)
D.\(-\frac{1}{2}\)
答案：A
解析：根据诱导公式，\(\cos(-\beta)=\cos(\beta)\)，因为余弦函数是偶函数。所以，\(\cos(-\beta)=\cos(\beta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
3.已知\(\tan(\theta)=2\)，求\(\tan(-\theta)\)的值。
A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案：B
解析：根据诱导公式，\(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)\)，因为正切函数是奇函数。所以，\(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)=-2\)。
二、填空题
4.计算\(\sin(\frac{5\pi}{6})\)的值。
答案：\(\frac{1}{2}\)
解析：根据诱导公式，\(\sin(\frac{5\pi}{6})=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。
5.计算\(\cos(\frac{7\pi}{4})\)的值。
答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
解析：根据诱导公式，\(\cos(\frac{7\pi}{4})=\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
6.计算\(\tan(\frac{3\pi}{2}-\theta)\)的值。
答案：\(-\cot(\theta)\)
解析：根据诱导公式，\(\tan(\frac{3\pi}{2}-\theta)=-\cot(\theta)\)，因为\(\tan(\frac{3\pi}{2}-\theta)=-\frac{1}{\tan(\theta)}=-\cot(\theta)\)。
三、解答题
7.已知\(\sin(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，求\(\sin(2\pi-\alpha)\)和\(\sin(\pi+\alpha)\)的值。
答案：\(\sin(2\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin(\pi+\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
解析：根据诱导公式，\(\sin(2\pi-\alpha)=\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)，但是\(\sin(2\pi-\alpha)=\sin(\alpha)\)因为正弦函数的周期是\(2\pi\)，所以\(\sin(2\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。同样，\(\sin(\pi+\alpha)=-\sin(\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
8.若\(\cos(\beta)=\frac{1}{2}\)，求\(\cos(-2\beta)\)和\(\cos(2\pi+\beta)\)的值。
答案：\(\cos(-2\beta)=\cos(2\beta)=\frac{1+\cos(2\beta)}{2}=\frac{1+2\cos^2