考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷4(题后含答案及解析)
题型有：1.选择题3.解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．AX=0和BX=0都是n元方程组，下列断言正确的是()．
A．AX=0和BX=0同解r(A)=r(B)．
B．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≤r(B)．
C．AX=0的解都是BX=0的解r(A)≥r(B)．
D．r(A)≥r(B)AX=0的解都是BX=0的解．
正确答案：C
解析：AX=0和BX=0同解(A)=r(B)，但r(A)=r(B)推不出AX=0和BX=0同
解，排除(A).AX=0的解都是BX=0的解，则AX=0的解集合BX=0的解集合，
于是n一r(A)≤n一r(B)，即r(A)≥r(B)．(C)对，(B)不对．n一r(A)≤n
—r(B)推不出AX=0的解集合BX=0的解集合，(D)不对．知识模块：线性代数
2．设A是m×n矩阵，r(A)=r．则方程组AX=β
A．在r=m时有解．
B．在m=n时有唯一解．
C．在r＜n时有无穷多解．
D．在r=n时有唯一解．
正确答案：A
解析：此题的考点是解的情况的判别法则以及矩阵的秩的性质。在判别法则
中虽然没有出现方程个数m，但是m是r(A)和r(A|β)的上限．因此，当r(A)=m
时，必有r(A|β)=r(A)，从而方程组有解，(A)正确．(C)和(D)的条件下不能
确定方程组有解．(B)的条件下对解的情况不能作任何判断．知识模块：线
性代数
3．的一个基础解系为
A．(0，一1，0，2)T．
B．(0，一1，0，2)T，(0，1／2，0，1)T．
C．(1，0，一1，0)T，(一2，0，2，0)T．
D．(0，一1，0，2)T，(1，0，一1，0)T．
正确答案：D
解析：用基础解系的条件来衡量4个选项．先看包含解的个数．因为n=4，
系数矩阵为其秩为2，所以基础解系应该包含2个解．排除(A)．再看无关性(C)
中的2个向量相关，不是基础解系，也排除．(B)和(D)都是两个无关的向量，
就看它们是不是解了．(0，一1，0，2)T在这两个选项里都出现，一定是解．只
要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，一1，0)T(其中一个就可以)．如检查(1，0，一
1，0)T是解，说明(D)正确．或者检查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除(B)．知
识模块：线性代数
4．当A=()时，(0，1，一1)和(1，0，2)构成齐次方程组AX=0的基础解
系．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：由解是3维向量知n=3，由基础解系含有两个解得到3一r(A)=2，从
而r(A)=1．由此着眼，只有(A)中的矩阵符合此要求．知识模块：线性代数
5．A=r(A)=2，则()是A*X=0的基础解系．
A．(1，一1，0)T，(0，0，1)T．
B．(1，一1，0)T．
C．(1，一1，0)T，(2，一2，a)T．
D．(2，一2，a)T，(3，一3，b)T．
正确答案：A
解析：由A是3阶矩阵，因此未知数个数n为3．r(A)=2，则r(A*)=1．A*X=0
的基础解系应该包含n一1=2个解，(A)满足．(1，一1，0)T，(0，0，1)T显然
线性无关，只要再说明它们都是A*X=0的解．A*A=|A|E=0，于是A的3个列向
量(1，一1，0)T，(2，一2,a)T，(3，一3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，
a和b不会都是0，不妨设