2025年清华大学强基计划测试数学试卷
1．正三棱锥,底边长4,,,中点分别为,,,中点为,外接球球心为,,则为．
2．已知正数满足,则最小值为．
3．,,,是复数,且,则的（实部）最小值为．
4．,,且不为等边,为外心,为内心,为上一点,且,下列正确的是为（????）．
A． B．四点共圆
C． D．
5．正方形,点满足,则的可能取值为（????）．
A．1,2 B．2,3 C．3,4 D．1,3
6．已知,则的最大值为．
1．##
【分析】利用球的幂可求侧棱长,从而可求体积.
【详解】如图,如果在球外,则过作球的切线,切点为,作球的割线.
由圆中切割线定理可得为定值,且定值为.
而当在球的内部时,为过的动弦,则由圆中相交弦定理可得.
在上述两种情况种,我们把定值定义为关于球的幂,记为.
设正三棱锥的侧棱长为.
由题设在球的内部,而在球的外部.
故,.
又为的中点,设射线与球的球面的交点为.
射线与球的球面的交点为.
则,而.
故,故即即.
故正三棱锥的高为,故体积为.
故答案为：.
2．
【分析】由基本不等式的相关知识即可求解.
【详解】由题意.
等号成立当且仅当.
所以最小值为.
故答案为：.
3．
【分析】设,利用已知条件可得,再由柯西不等式得,结合,解不等式可得答案.
【详解】设.
因为,所以.
又.
所以,可得.
所以.
两式相加得.
即,.
又因为,当且仅当等号成立.
所以,即.
,可得.
可得,或.
由得,解得.
由得,解得.
所以.
由得,解得.
由得,显然,故.
解得,所以.
综上所述,.
则的（实部）最小值为.
故答案为：.
4．BC
【分析】AD利用反证法求证,B利用几何关系求证（锐角三角形）或（钝角,直角三角形）,C利用几何关系求证.
【详解】
设与交于.
因,为外心,为内心,则四点共线,.
图1,因,则.
图2,.
则.
图3,设与交于点,.
则与全等（AAS）,则.
则与全等（HL）,则.
则与全等（SAS）,则.
上述三种情况,均有四点共圆,故B正确.
图1,因四点共圆,则.
因三点共圆,则,则.
图2,设,则.
在圆中,,则.
则.
图3,.
从而,故C正确.
假设,因,则.
又为内心,则（三线合一）.
因,则为等边三角形,矛盾,故A错误.
假设,因,则,则.
则,与三角形内角和为矛盾,故D错误.
故选：BC
5．B
【分析】根据题意建立坐标系,由,即,然后分别可得点的轨迹方程,再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可.
【详解】设点,以为原点建立坐标系.
不妨设正方形边长为1,则.
又,所以,.
即,整理得：.
此时点在以为圆心,半径为的圆上.
又,所以.
当时,此时点在的垂直平分线上.
代入中,得.
,方程无解,所以不符合题意.
当时,整理得：.
此时点在以为圆心,半径为的圆上
要使这样的点存在,则圆与圆要有交点.
当时,.
此时,,故符合题意.
当时,.
此时,,故符合题意.
当时,.
此时,,圆与圆内含,故不符合题意.
综上,或符合题意.
故选：B.
6．##0.5
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为
所以.
即.
再由得.
即,当且仅当等号成立.
则的最大值为.
故答案为：.