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文件名称:2025年北京市清华大学强基计划测试数学真题试卷含详解.docx
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总页数:8 页
更新时间:2025-07-02
总字数:约1.38千字
文档摘要

2025年清华大学强基计划测试数学试卷

1.正三棱锥,底边长4,,,中点分别为,,,中点为,外接球球心为,,则为.

2.已知正数满足,则最小值为.

3.,,,是复数,且,则的(实部)最小值为.

4.,,且不为等边,为外心,为内心,为上一点,且,下列正确的是为(????).

A. B.四点共圆

C. D.

5.正方形,点满足,则的可能取值为(????).

A.1,2 B.2,3 C.3,4 D.1,3

6.已知,则的最大值为.

1.##

【分析】利用球的幂可求侧棱长,从而可求体积.

【详解】如图,如果在球外,则过作球的切线,切点为,作球的割线.

由圆中切割线定理可得为定值,且定值为.

而当在球的内部时,为过的动弦,则由圆中相交弦定理可得.

在上述两种情况种,我们把定值定义为关于球的幂,记为.

设正三棱锥的侧棱长为.

由题设在球的内部,而在球的外部.

故,.

又为的中点,设射线与球的球面的交点为.

射线与球的球面的交点为.

则,而.

故,故即即.

故正三棱锥的高为,故体积为.

故答案为:.

2.

【分析】由基本不等式的相关知识即可求解.

【详解】由题意.

等号成立当且仅当.

所以最小值为.

故答案为:.

3.

【分析】设,利用已知条件可得,再由柯西不等式得,结合,解不等式可得答案.

【详解】设.

因为,所以.

又.

所以,可得.

所以.

两式相加得.

即,.

又因为,当且仅当等号成立.

所以,即.

,可得.

可得,或.

由得,解得.

由得,解得.

所以.

由得,解得.

由得,显然,故.

解得,所以.

综上所述,.

则的(实部)最小值为.

故答案为:.

4.BC

【分析】AD利用反证法求证,B利用几何关系求证(锐角三角形)或(钝角,直角三角形),C利用几何关系求证.

【详解】

设与交于.

因,为外心,为内心,则四点共线,.

图1,因,则.

图2,.

则.

图3,设与交于点,.

则与全等(AAS),则.

则与全等(HL),则.

则与全等(SAS),则.

上述三种情况,均有四点共圆,故B正确.

图1,因四点共圆,则.

因三点共圆,则,则.

图2,设,则.

在圆中,,则.

则.

图3,.

从而,故C正确.

假设,因,则.

又为内心,则(三线合一).

因,则为等边三角形,矛盾,故A错误.

假设,因,则,则.

则,与三角形内角和为矛盾,故D错误.

故选:BC

5.B

【分析】根据题意建立坐标系,由,即,然后分别可得点的轨迹方程,再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可.

【详解】设点,以为原点建立坐标系.

不妨设正方形边长为1,则.

又,所以,.

即,整理得:.

此时点在以为圆心,半径为的圆上.

又,所以.

当时,此时点在的垂直平分线上.

代入中,得.

,方程无解,所以不符合题意.

当时,整理得:.

此时点在以为圆心,半径为的圆上

要使这样的点存在,则圆与圆要有交点.

当时,.

此时,,故符合题意.

当时,.

此时,,故符合题意.

当时,.

此时,,圆与圆内含,故不符合题意.

综上,或符合题意.

故选:B.

6.##0.5

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】因为

所以.

即.

再由得.

即,当且仅当等号成立.

则的最大值为.

故答案为:.