2025年北京大学强基计划测试数学试卷
1．已知,求的取值范围.
2．求椭圆的面积.
3．求的最大值与最小值之和.
4．求的值域.
5．满足的两位数的个数.
6．已知,且,求
7．已知在与的线段上,,求在复平面上扫过的面积.
8．已知,求.
9．已知,求最大值.
10．已知,求的最大值.
11．求的最大值.
12．使得有解的有几组.
13．若是的两解,且,求.
14．
15．满足各位数字由组成,且含偶数个2的2025位数有几个.
16．满足的二元集有几个.
17．求.
18．所有正虚部的根之积为,则
19．有三个不同的实根,且,则的取值范围为
20．中,在上,平分,,求.
1．
【分析】根据已知得,再由,结合二次函数性质求取值范围.
【详解】由,显然,则,故.
由,又.
所以时最大值为,时最小值为（注意最小值取不到）.
综上,的范围是.
2．
【分析】设椭圆,将椭圆上所有点的纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆,易得椭圆的对称轴为直线和,进而联立直线与椭圆方程,求出的值,即可求得椭圆的面积,进而求得椭圆的面积.
【详解】设椭圆.
将椭圆上所有点的纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆.
由于点,均在椭圆上.
可得椭圆的对称轴为直线和.
设直线于椭圆交于两点,直线于椭圆交于两点.
联立,得.
则.
联立,得.
则.
所以.
则椭圆的面积为.
所以椭圆的面积为.
3．
【分析】先把原式平方,结合函数的单调性及导函数正负得出单调性,最后代入计算求解.
【详解】因为,所以,.
,单调递增,故此时.
,.
令,由于均在单调递减,故在单调递减,所以,所以,,左右平方得
,单调递增.
,单调递减.
所以当时,.
当时,,故当时,.
综上可得
所以的最大值与最小值之和为.
4．
【分析】设,问题化为求的范围,数形结合确定值域即可.
【详解】令.
设,如下图示.
则,当且仅当在线段的延长线上时取等号.
当时,直线可近似看作平行关系,此时.
综上,目标式的范围是.
5．2
【分析】根据已知有且,,,分类讨论求满足要求的即可.
【详解】由题意,则,且,,.
当,则或,不符.
当,则或,不符.
当,则,易知不为整数,不符.
当,则,可得或.
当,则,即无实数解,不符.
综上,对应有和,共2个.
6．
【分析】根据已知条件化简得出,最后计算求值即可.
【详解】因为,所以.
所以,所以.
所以
.
故答案为：
7．
【分析】设,,对应的点分别为P,Q,M,由题意知,,且,即可分析出点M的轨迹,最后利用矩形和圆的面积公式求面积即可.
【详解】在复平面内,设对应的点为P,点P在线段AB上运动.
其中,.
设对应的点为Q,点Q在以坐标原点为圆心的单位圆上运动,.
设对应的点为M,则.
所以,则.
即点M在以P点为圆心,2为半径的圆上运动,当点P在线段AB上运动时.
点M在复平面上扫过的图形为一个矩形（长宽分别为4和）和两个半圆（半径为2）.
面积为.
8．
【分析】令,则,结合指数的性质得到,应用指对数关系得,再由导数研究在上的单调性得,即可得.
【详解】令,则,显然且.
若,则,此时不成立.
所以,则,且,.
所以,即.
对于且,则.
所以在上单调递增,又.
所以,故,则.
9．
【分析】应用三角换元,再结合辅助角公式计算求解.
【详解】已知,设
则.
其中.
当时,取最大值.
所以的最大值为.
10．
【分析】由,结合三角不等式求最值,注意取值条件.
【详解】由.
当且仅当同向时取等号,故的最大值为.
11．
【分析】根据给定条件,确定目标式取最大值的条件,再分情况求出最大值并比较大小即可.
【详解】要取最大值,当且仅当.
当或时,.
当时,,当且仅当取等号.
当时,,当且仅当取等号.
当时,
,当且仅当时取等号.
而,所以的最大值为.
12．无数组
【分析】首先分析不是方程的解,然后当时,,,每一个非零实数x都对应一组,所以使得方程有解的有无数组.
【详解】当时,因为,,所以不是方程的解.
当时,对于方程,.
令,.
令.
因为在上单调递减,且,.
所以存在,使得.
即当时,,单调递增.
当时,,单调递减.
当时,,单调递减.
所以,即使得方程有解的a的值有无数个.
.
因为函数在上单调递减.
函数在上单调递增.
所以函数在上单调递减.
所以函数在的值域为.
使得方程有解的的值有无数个.
因为x为任意非零实数,每一个非零实数x都对应一组,而非零实数有无数个.
所以使得有解的有无数组.
13．
【分析】由已知及平方关系,商数关系得,应用韦达定理及和角正切公式求函数值.
【详解】由题设,且.
故均不为,故为非零实数.
所以,且.
所以且,则,.
所以.
14．##
【分析】应用复指数和三角恒等式求值即可.
【详解