南昌航空工业学院环境系统分析课件2006.4.18.第四章数学模型的参数估计及灵敏度分析前章所述的一些解析模型常用于环境质量的模拟预测和控制规划一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模拟和预测中三维解析模型在大气质量的预测中普通采用在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可用来模拟河流的水质在模型具体应用时，必须首先对模型中的参数进行估值和进行灵敏度的分析。2006.4.18.一、模型参数的估值方法有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化方法等估值方法除经验公式外，其余方法均是利用系统输入输出数据和数学模型本身确定合理的参数数值。1、图解法对经适当处理后以转换为直线的公式，均可用图解法估计参数，其误差取决于点位的精度和绘制直线的精度。2006.4.18.2、一元线性回归分析法亦称最小二乘法该法有两个假定：①所有自变量的值均不存在误差，因变量的值则含有测量误差；②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和最小的直线。2006.4.18.偏差的平方和最小意味着各个点的偏差均很小。最佳的b和m的估计值：（y=mx+b）由2006.4.18.3、多元线性回归分析（原理相同）以二元为例2006.4.18.4、最优化估值方法函数一般式：建立目标函数：使其最小（Zmin）。对一个连续可微的目标函数可采用最速下降法（一阶梯度法）。2006.4.18.梯度法的步骤如下：第一步:设θ1,θ2,…,θm的初值为θ1°,θ2°,…θm°,允许迭代误差为?.第二步：计算目标函数的初值第三步：计算目标函数对参数的梯度。2006.4.18.在函数的形式比较复杂，不易求得梯度的解析式时，可以计算其数值梯度.第四步：计算参数修正步长λ2006.4.18.二阶梯度矩阵H（θ°）亦称海森矩阵。2006.4.18.对于复杂的数学表达式，海森矩阵的解析值很难计算，可以数值梯度来近似的解析值。对于海森矩阵的对角元素：对于非对角元素：2006.4.18.第五步：计算参数θi的修正值θi1第六步，计算新的目标函数值Z1第七步，比较Z1和Z0若，则停止运算，并输出参数的估计值θi1（i=1,2……n）否则令返回第三步。2006.4.18.若以相对误差表示则可取|(Z1-Z0)/Z1|≤ε否则计算的允许选代误差（也称截断误差）要视目标函数的绝对值大小而定。用最优化方法估值时，要由经验给定参数的初值。2006.4.18.例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定数据如下：若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧（Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的变化规律符合下述方程:X(km)08283656DO(mg/l)10.08.57.06.17.22006.4.18.试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度常数Ka。解：首先，建立目标函数2006.4.18.用一阶梯度法，据前述的七步，编制计算机程序，给定初值，K0d=1.0d-1=0.042h-1，K0a=2.0d-1=0.083h-1当目标Z=0.4681时，得到参数的最优估计值:Kd=0.053h-1=1.27d-1Ka=0.19h-1=4.67d-1。（?取的是0.0001）。2006.4.18.

5、网格法假定有n个等定参数，且已知各参数的取值范围，把各搜索区间（取值范围）分成若干个等分，则参数空间θ=(θ1,θ2,…,θn)T就被划分成若干网格，计算所有网格顶点上的目标函数值，并取其中最小的值所对应的参数值作为最优估计值。若精度还不够，则可再分细些。2006.4.18.6、经验公式计算法如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中的方差等。除经验公式计算法外，其余方法均应有自度量和因变量的实测输入输出数据，注意使用条件，范围。二、模型的验证与误差分析