2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题
本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答填写在答题纸上，满分
150分
一、填空题(每小题8分，共计96分)
1.设集合刀=土集合5=^x|x2+2x+m0^.若AjB,则实数秫的取值范围
为.
2.设函数广｛1,2,3｝T｛2,3,4｝满足/(/(x)-l)=/(x),则这样的函数有个.
3.函数sin2=sinx+l的最大值与最小值之积为_____.
sin2x+l
4.已知数列氐｝满足：寸马,2〃(〃:气、，心1，则通项〃=______.
2xn+n(n+l)
5.已知四面体A-BCD的外接球半径为1,BC=1,ZBDC=60。,则球心到平面如。的距
离为.
6.已知复数Z满足z24=(z-1广°=1,贝Z=.
7.已知平面上单位向量列段垂直，3为任意单位向量，且存在心(0,1),使得向量a+(l-t)b
与向量c-5垂直，则\a+b-c\的最小值为.
2024
8.若对所有大于2024的正整数〃，成立/24=￡qC0kN,则ai+aQ4=.
z=0
9.设实数。,勇(0,2],且或Q+队：，则max也—q,c—3,4—2c｝的最小值为.
10.在平面直角坐标系。尹上，椭圆E的方程为—+^-=1,成为E的左焦点；圆C的方程
124
为(x-[)2+3-力)2=产，A为C的圆心.直线/与椭圆E和圆。相切于同一点P(3,l).则当
最大时，实数〃=.
11.设〃为正整数，且文——,则〃=______.
+弘之+26^+24312
12.设整数心4,从编号12??顷的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若
1,2均出现或3,4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为?
试卷第1页，共2页
二、解答题(13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54)
13.正实数*1**3满足krkk3；实数弓,。2满足q=k-klf勺-弓=2(佑-上2)，定义函
5,0xl
^x,0x1
数f(x)=k1x-ci,\x,g(x)=kx-^,lx,试问，当k^k,k3满足什么条件时,
k3x-c,x
存在力〉0使得定义在［0,，］上的函数g(x)+/(^-x)恰在两点处达到最小值?
14.设集合S={1,2,3,...,997,998},集合S的上个499元子集4,4，???，4满足：对S中任一二
元子集8,均存在，使得Bu，j.求次的最小值.
15.设/(x),g(x)均为整系数多项式，且degf(x)degg(x).若对无穷多个素数P,
以(x)+g(x)存在有理根，证明：/(X)必存在有理根.
试卷第2页，共2页
1.m-3
【分析】先求出集合力，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围
【详解】因为刀二]xgxVl],要使MB,
I+x1+m0
则Wi,
—+2x一-1-m0
2
m-3
则/5,
〔4
所以m-3.
故答为：m-3.
2.10
【分析】根据函数的定义，分情况进行讨论.
【详解】令j=/（x）-le（l,2,3},则f（y）=y+l.
对/（1）=2以下三种情况都满足条件，
f（）=f（3）=2；