2025年全国数学奥林匹克竞赛模拟试题
A卷^试
部分题目为原创，欢迎提出任何题
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
1.写*票=N，P与q互质,P的值为_______
2x4xx200p
2.已知平面直角坐标系中,A（3,4）,B（a,b）均在第一象限内?二k,Ovkv；,且射线0A与
a3
射线0B的夹角大于射线0B与x的正半轴的夹角，求k的取值范围_______
3.已知x,y均为正数，y[x+y/x+y二l,xy的最大值为
4.已知x2+4y2=4x,u=3x+8y,u的最大值与最小值的差为
5.不定方程组
x+y+z=3
[r+y+a=3
的整数解（x,y,）的个数为
6.lb2bi1000且为正整数,bn-1除以bn的余数为bn+i,n=2,3，…，重复以上操作，直到再一
次操作中得出的新的一项bk=O,停止操作,k的最大值为
7.tan20°+4sin20°=
8./=〃+2,九为正整数，蚌1,2，…,n,求满足上述条件的数列（/；｝有个
Jn
二、解答题（本大题共3小题，满分56分）
9.（16分）aVO,ealnb=ab,bine=ac,求a,b,c的大小关系
10.（20分）a,b,c为正实数,a+b+clnk+^lnabcH——思为正整数，求k的最大值
3a+b+c
nin42
11.（20分）对于给定正整数n,A=ZG+t,B=￡（x‘+为正数，求万的最
1=1-一Z=1
大值（用n来表示）
1
1.g|淄土p与q互质,p的值为——
答案：2197
详解：注意到奇乂奇=奇，奇X偶二偶
对于任意奇质因数，均会先出现在分子，后出现在分母
则既约分数的分母不存在奇质因数，p=21ooV2(1OO!)=2197
2.已知平面直角坐标系中,A(3,4),B(a,b)均在第-象限内，?=k,。崂,且射线0A与
射线0B的夹角大于射线0B与x的正半轴的夹角，求k的取值范围_______
答案：(0,|)
详解：多种方法，如向量，角平分线定理，三角函数，略
3.已知x,y均为正数，y[x+y/x+y二1,xy的最大值为
答案:％
详解：由题，移项，分母有理化，得：y/x+y=^x+y
代入，得：2Vx+y=1
由均值不等式，得：xy最大为
4.已知x2+4y2=4x,u二3x+8y,u的最大值与最小值的差为
答案：20
详解：令x=2+2cosx,y=sinx
u=6+6cosx+8sin%,由辅助角公式，则最大值与最小值的差为20
5.不定方程组
x+y+z=3
\x3+y3+z3=3
的整数解(x,y,)的个数为
答案：4
详解：从方程中消去,得到
8-9x-9y+3x2+6xy+3y2-x2y-xy2=0
变形为
(3-x)(3x+3y-xy-y2)=8.故(3-x)|8,故3-x=±l,±2,±4,±8,依次检验，得
(x,y,)=(1,1,1)，(-5,4,4),(4,?5,4),(4,4,-5)