北京市大学线性代数与空间解析几何2025年春季学期期末试题分析

一、线性代数基础

要求：本部分考查线性代数基础知识，包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组等基本概念。

1.已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$，计算$\boldsymbol{A}^2$。

2.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的逆矩阵$\boldsymbol{A}^{-1}$。

3.已知向量$\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$，求向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的点积。

4.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。

5.已知线性方程组$\begin{cases}x+2y-3z=4\\2x+y+2z=3\\3x+4y+z=6\end{cases}$，求方程组的解。

二、向量空间

要求：本部分考查向量空间的基本概念和性质，包括子空间、基、维数、线性相关性等。

1.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间，$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\in\boldsymbol{V}$，若$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$线性无关，则$\boldsymbol{V}$的维数至少为多少？

2.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间，$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基，若$\boldsymbol{B}$中的向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为$\boldsymbol{v}_2$和$\boldsymbol{v}_3$的线性组合，则$\boldsymbol{B}$中至少有多少个向量？

3.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间，$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基，若$\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{V}$的维数至少为多少？

4.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间，$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基，若$\boldsymbol{B}$中的向量$\boldsymbol{v}_1$和$\boldsymbol{v}_2$线性相关，则$\boldsymbol{B}$中至少有多少个向量？

5.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间，$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基，若$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$线性无关，则$\boldsymbol{V}$的维数至多为多少？

三、空间解析几何

要求：本部分考查空间解析几何的基本概念和性质，包括点、直线、平面、曲面等。

1.设$A(1,2,3)$，$B(4,5,6)$，$C(7,8,9)$，求直线$AB$的方程。

2.设平面$\pi$过点$P(1,2,3)$，且与平面$x+y+z=5$平行，求平面$\pi$的方程。

3.设点$M(1,2,3)