北京市大学线性代数与空间解析几何2025年春季学期期末试题分析
一、线性代数基础
要求:本部分考查线性代数基础知识,包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组等基本概念。
1.已知矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$,计算$\boldsymbol{A}^2$。
2.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$,求矩阵$\boldsymbol{A}$的逆矩阵$\boldsymbol{A}^{-1}$。
3.已知向量$\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$,$\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$,求向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的点积。
4.设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$,求矩阵$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。
5.已知线性方程组$\begin{cases}x+2y-3z=4\\2x+y+2z=3\\3x+4y+z=6\end{cases}$,求方程组的解。
二、向量空间
要求:本部分考查向量空间的基本概念和性质,包括子空间、基、维数、线性相关性等。
1.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间,$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\in\boldsymbol{V}$,若$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$线性无关,则$\boldsymbol{V}$的维数至少为多少?
2.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间,$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基,若$\boldsymbol{B}$中的向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为$\boldsymbol{v}_2$和$\boldsymbol{v}_3$的线性组合,则$\boldsymbol{B}$中至少有多少个向量?
3.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间,$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基,若$\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}$,则$\boldsymbol{V}$的维数至少为多少?
4.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间,$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基,若$\boldsymbol{B}$中的向量$\boldsymbol{v}_1$和$\boldsymbol{v}_2$线性相关,则$\boldsymbol{B}$中至少有多少个向量?
5.设$\boldsymbol{V}$是一个向量空间,$\boldsymbol{B}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}$是$\boldsymbol{V}$的一个基,若$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$线性无关,则$\boldsymbol{V}$的维数至多为多少?
三、空间解析几何
要求:本部分考查空间解析几何的基本概念和性质,包括点、直线、平面、曲面等。
1.设$A(1,2,3)$,$B(4,5,6)$,$C(7,8,9)$,求直线$AB$的方程。
2.设平面$\pi$过点$P(1,2,3)$,且与平面$x+y+z=5$平行,求平面$\pi$的方程。
3.设点$M(1,2,3)