2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）
（附答案与详细解析）
一、填空题。
1.函数y=V^4+V15-3x的值域为
2.xG（0,￡-），求函数y=sin2xcosx的最大值为
3.已知工、y、z满足i+y+z=l,则x2+4y2+9z2的最小值为
4.在左ABC中，角A、B、。对边分别为b、c,已知acosC-bcos2A=asinAsinB-csinA,
则tanA的值为
（ai+a9）2
5.若数列,Qi,02,＞成等差数列，,bi,to,y成等比数列，则一-―-—的取值范
brb2
围是
6.已知向量a,b,c满足lal=3,|b|=2扼，a?b=6,且（a+c）（b+2c）=0,则|b+cl
最小值为
7.已知直线y=ax+2与三次曲线y=疽-ec有三个不同交点，则。的取值范围为
8.在棱长为6的正四面体中，M为面8CQ上一点，且\AM\=5,设异面直线AM与
所成的角为（,则|cosa|最大值为
9.方程1+2+3+3%4+3x5+5x6=7的非负整数解个数为
10.设尸，/为双曲线（x-4）2_=1的右焦点与右准线，椭圆「以尸和为其对应的焦点
1212
及准线，过尸作一条平行于y=\/3x的直线，交椭圆「于A,B两点，若「的中心位于
以A3为直径的圆外，则椭圆离心率。的范围为
2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷(初试)
参考答案与试题解析
一、填空题。
1.函数易15-3x的值域为U，2].
【分析】求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出
相应的函数值，即可得到值域
【解答】解：W15-3x
冷-4》七解得4W5
115-3x0
又矿=_________3二J15-3x
2Vx~4对15?3丁2Vx-4，15?3x
令y0解得x旦,令矿VO,得x旦,故当x应函数取到最大值2
444
又尤=4时，y=扼，%=5时，y=l
函数x-4W15-3x的值域为[1,2]
故答案为[1,2]
【点评】本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出,
故采取了求导的方法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题
关键是熟练掌握求导公式，以及掌握导数法确定函数单调性的步骤
2.xG(0,M-),求函数y=sin2*xcosx的最大值为
2—3—
【分析】由同角三角函数的平方关系，可得y=cosx-cos3x,令r=cosxG(0,1),再求
导，判断函数/(^)的单调性，然后求其最大值，即可
【解答】解：y=sin2xcosx=(1-cos2x)cosx=cosx-cos3x,
令t=cosx,则(t)=t-F,(t)=1-3?,
因为能(0,—所以佐(0,1),
2
令(r)=1-3^=0,贝|]/=±匝，
3
所以在(0,匝)上单调递增，在(匝，1)上单调递减，
33
所以(t)(匝)=2匝，即函数y的最大值为2匝
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