返回后页前页格林公式曲线积分第1页，共37页，星期日，2025年，2月5日一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为第2页，共37页，星期日，2025年，2月5日定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:第3页，共37页，星期日，2025年，2月5日又可表为这里和分分别是曲线和的方程.于是别为曲线和的方程,而和则图21-13第4页，共37页，星期日，2025年，2月5日同理又可证得第5页，共37页，星期日，2025年，2月5日将上述两个结果相加即得(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型第6页，共37页，星期日，2025年，2月5日又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域于是第7页，共37页，星期日，2025年，2月5日(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处时可适当添加线段理.在图21-15中添加了后,D的边界则由第8页，共37页，星期日，2025年，2月5日注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知第9页，共37页，星期日，2025年，2月5日所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:注3应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.请看以下二例:第10页，共37页，星期日，2025年，2月5日第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:由于因此例1计算其中曲线是半径为r的圆在第11页，共37页，星期日，2025年，2月5日例2计算其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为它们在上述区域D上连续且相等,于是第12页，共37页，星期日，2025年，2月5日所以由格林公式立即可得在格林公式中,令则得到一个计算平面区域D的面积SD的公式:(2)第13页，共37页，星期日，2025年，2月5日例3计算抛物线与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线由函数表示,为直线于是第14页，共37页，星期日，2025年，2月5日第15页，共37页，星期日，2025年，2月5日二、曲线积分与路线的无关性在第二十章§2中计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在例1中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿的路线不同,则其积分值也不同,但在例2中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域D内任一封闭曲线,皆可不经过D第16页，共37页，星期日，2025年，2月5日以外的点而连续收缩于属于D的某一点,则称此平面区域为单连通区域;否则称为复连通区域.在图21-18中,与是单连通区域,而与则是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述:D内任一封闭曲线所围成的区域只含有D中的点.更通第17页，共37页，星期日，2025年，2月5日俗地说,单连通区域就是没有“洞”的区域,复连通区域则