第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日第五、六章一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）.理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积、经济应用问题等。第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日第4节.不定积分的换元法利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日一.不定积分的第一换元法:看出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也是被积表达式?第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日定理该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日4.见过的凑微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);dx=d(2x+1);dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2下面介绍两大类型被积函数的积分方法:第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:1.相应的凑微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:二.三角函数的积分计算例:方法:拆出个正\余弦的1次幂,再凑微分第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日3.被积函数都是正\余弦函数的偶数次幂时:目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低!具体方法(公式):等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日三、有理函数的积分1.有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日例1解之前的引入例:第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日2.分母可以因式分解(1次因式)时:先将分母因式分解1次因式;再利用待定系数法分解部分分式的和;对每个部分分式的计算积分.例13采用部分分式法计算步骤:第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日真分式分解为部分分式:比较等式2边得:A=-3,B=5第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日例14解部分分式法第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日3.分母出现不能因式分解(2次因式)时:采用的积分公式是:该分母不能因式分解看下面这个相对简单的例子,再看个综合例子:(注意,这例子比较难!)第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日解:原式例15.求第16页，共40页，星期日，2025年，2月5日(书本P219例题4)例16想想它分子怎么设？利用待定系数法求得:A=2,B=-1,C=3第17页，共40页，星期日，2025年，2月5日这个积分容易计算了这个积分是新问题:分母不能因式分解!凑微分分母不能分解,进行配方第18页，共40页，星期日，2025年，2月5日凑微分换元u=x-1/2第19页，共40页，星期日，2025年，2月5日凑微分凑微分基本公式第20页，共40页，星期日，2025年，2月5日再看这个,将分母变成u2+1凑微分第21页，共40页，星期日，2025年，2月5日基本公式第22页，共40页，星期日，2025年，2月5日好难!？注意步骤,不着急!优势:在方法一定可以完成!第23页，共40页，星期日，2025年，2月5日第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，四.不定积分的第二换元法:第24页，共40页，星期日，2025年，2月5日第25页，共40页，星