*第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日第5章函数5.1函数定义及其性质5.2函数的复合与反函数*第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日5.1函数定义及其性质5.1.1函数的定义函数定义从A到B的函数5.1.2函数的像与完全原像5.1.3函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数*第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日函数定义定义5.1设f为二元关系,若?x∈domf都存在唯一的y∈ranf使xfy成立,则称f为函数.对于函数f,如果有xfy,则记作y=f(x),并称y为f在x的值.例如f1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}
f2={x1,y1,x1,y2}f1是函数,f2不是函数
*第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日函数相等定义5.2设f,g为函数,则
f=g?f?g∧g?f如果两个函数f和g相等,一定满足下面两个条件：
(1)domf=domg
(2)?x∈domf=domg都有f(x)=g(x)
实例函数f(x)=(x2?1)/(x+1),g(x)=x?1不相等,因为domf?domg.*第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日从A到B的函数定义5.3设A,B为集合,如果(1)f为函数(2)domf=A(3)ranf?B,则称f为从A到B的函数,记作f:A→B.实例f:N→N,f(x)=2x是从N到N的函数g:N→N,g(x)=2也是从N到N的函数*第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日B上A定义5.4所有从A到B的函数的集合记作BA,读作“B上A”符号化表示为
BA={f|f:A→B}计数：|A|=m,|B|=n,且m,n0,|BA|=nm.A=?,则BA=B?={?}.
A≠?且B=?,则BA=?A=?.
*第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日实例解BA={f0,f1,…,f7},其中
f0={1,a,2,a,3,a}
f1={1,a,2,a,3,b}
f2={1,a,2,b,3,a}
f3={1,a,2,b,3,b}
f4={1,b,2,a,3,a}
f5={1,b,2,a,3,b}
f6={1,b,2,b,3,a}
f7={1,b,2,b,3,b}
例1设A={1,2,3},B={a,b},求BA.*第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日重要函数的定义定义5.5(1)设f：A→B,如果存在c∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=c,则称f:A→B是常函数.(2)称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数,对所有的x∈A都有IA(x)=x.(3)设A,?,B,?为偏序集，f:A→B，如果对任意的x1,x2∈A,x1?x2,就有f(x1)?f(x2),则称f为单调递增的；如果对任意的x1,x2∈A,x1?x2,就有f(x1)?f(x2),则称f为严格单调递增的.类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数.*第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日重要函数的定义(续)(4)设A为集合,对于任意的A’?A,A’的特征函数?A’:A→{0,1}定义为实例：设A={a,b,c},A的每一个子集A都对应于一个特征函数,不同的子集对应于不同的特征函数.如??={a,0,b,0,c,0}，?{a,b}={a,1,b,1,c,0}.*第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日(5)设R是A上的等价关系,令
g:A→A/R
g(a)=[a],?a∈A
称g是从A到商集A/R的自然映射.重要函数的定义(续)*第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日实