北京市海淀区2024-2025学年考研数学（二）应用题实战演练解析强化卷
一、线性代数
1.设矩阵A为：
\[A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\]
求矩阵A的特征值和特征向量。
2.已知线性方程组：
\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y+2z=2\\3x+6y+3z=3\end{cases}\]
求方程组的通解。
二、概率论与数理统计
1.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ=1。求P(-1X1)。
2.设随机变量X和Y相互独立，X服从区间[0,1]上的均匀分布，Y服从区间[0,2]上的均匀分布。求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
三、高等数学
1.计算定积分：
\[\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx\]
2.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)。证明：存在一个数c∈(a,b)，使得f(c)=0。
四、复变函数
1.设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上解析。证明：f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都满足拉普拉斯方程。
2.设函数f(z)在区域D上解析，且f(z)在D内无奇点。证明：f(z)在D内可展开为幂级数。
五、常微分方程
1.求解微分方程：
\[y-2y+y=e^x\]
2.设微分方程y+p(x)y+q(x)y=0的通解为y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}，其中r_1和r_2是方程的特征根。求p(x)和q(x)的表达式。
六、概率论与数理统计
1.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.5。求P(X≤3)。
2.设随机变量X和Y相互独立，X服从区间[0,1]上的均匀分布，Y服从区间[0,2]上的均匀分布。求随机变量Z=X+Y的数学期望E(Z)和方差D(Z)。
四、复变函数
要求：求解下列复变函数的积分。
1.计算积分\(\int_{C}\frac{dz}{z^2+1}\)，其中C是以原点为中心，半径为2的圆周。
2.设函数\(f(z)=e^{z^2}\)在区域D上解析，求积分\(\int_{C}f(z)\,dz\)，其中C是沿实轴从-1到1的路径。
3.设函数\(g(z)=\frac{1}{z^2-1}\)在区域D上解析，求积分\(\int_{C}g(z)\,dz\)，其中C是沿单位圆周的反时针方向。
五、常微分方程
要求：求解下列常微分方程。
1.求解微分方程\(y-4y+4y=e^{2x}\)的通解。
2.设微分方程\(y+y+y=\cos(x)\)的解为\(y=C_1e^{-x}\sin(x)+C_2e^{-x}\cos(x)\)，求常数\(C_1\)和\(C_2\)。
3.求解微分方程组\(\begin{cases}x=y\\y=-x\end{cases}\)的通解。
六、概率论与数理统计
要求：解答下列概率论与数理统计问题。
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=k)的表达式。
2.设随机变量X和Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从指数分布，求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
3.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2=4。从总体中抽取样本X_1,X_2,...,X_n，求样本均值\(\bar{X}\)的分布。
本次试卷答案如下：
一、线性代数
1.解析：首先计算矩阵A的特征多项式：
\[\det(A-\lambdaI)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda23\\45-\lambda6\\789-\lambda\end{bmatrix}\]
展开后得到：
\[(1-\lambda)((5-\lambda)(9-\lambda)-48)-2(4(9-\lambda)-56)+3(4(5-\lambda)-32)=0\]
\[\lambda^3-15\lambda^2+84\lambda-150=0\]
解得特征值λ1=5,λ2=3,λ3=6。对应特征向量分别为：
\[v_1=\begin{bmatrix}