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预习课06用空间向量研究直线、平面的垂直
1线线垂直
设直线l1,l2的方向向量分别是u1,u
2线面垂直
①(法一)设直线l的方向向量是u，平面α的法向量是n，则要证明l⊥α，只需证明u||
②(法二)设直线l的方向向量是u，平面α内的两个相交向量分别为m,
若u?m=0u?n=0
【例】已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a=?1,0,??1，n=(1,0,1)，则直线l
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
解：若a=?1,0,??1，n=(1,0,1)，则a=?n，a//n
3面面垂直
若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，要证
【例】若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,?3),b=(?1,2,2)，判断平面α与
解a?b==(2,4,?3)(?1,2,2)=?2+8－6=0，∴a⊥b，
【例】已知平面α，β的法向量分别为u=(3,?1,4),v
A．α//β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
解平面α，β的法向量分别为u=(3,?1,4),v=(?2,3,?5)，对于A，∵?23≠3?1≠?54，∴α,β不平行，故A错误；对于B，u?v=?6?3?20=?29≠0，∴α,β不垂直；对于C，由A,B得α，
【题型一】对空间向量证明线面垂直方法的理解
【典题1】给出下列命题：
①直线l的方向向量为a=1,?1,2，直线m的方向向量b=2,1,?1
②直线l的方向向量a=0,1,??1，平面α的法向量n=
③平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n
④平面α经过三点A(1,0,?1),B(0,1,0),C(?1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）
解析对于①，∵a=(1,?1,2),b=2,1,?
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a=0,1,??1，n=
∴a⊥n，∴l//α或l?α
对于③，∵n1=(0,1,3),n2=(1,0,2)，∴n
对于④，∵点A(1,0,?1),B(0,1,0),C(?1,2,0)，∴AB=(?1,1,1),BC=(?1,1,0)，向量n=(1,u,t)是平面的法向量，∴n?AB=0
【巩固练习】
1已知直线l1的方向向量m=(2,m,1)，l2的方向向量n=1,12
答案?8
解析∵直线l1的方向向量m=(2,m,1)，l2的方向向量n
∴m?n
2已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m)，平面α的一个法向量n=?1,?2,3，若l⊥α，则
答案?3
解析∵直线l的一个方向向量a=(1,2,m)，平面α的一个法向量n=?1,?2,3
∴a//n，∴
3已知平面α的一个法向量a=(x,1,?2)，平面β的一个法向量b=?1,y,12，若
答案1
解析∵平面α的一个法向量a=(x,1,?2)，平面β的一个法向量b=?1,y,
∴a?b
【题型二】证明线面垂直
【典题1】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1
(1)求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
(2)求证：AG∥平面BEF；
(3)试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面
解析(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E(1,12,1)，F(12,1,1)，
∴cos＜AG,BF＞=323
(2)∵EF=?12,12,0，BF
又因为AG不在平面BEF内，∴AG∥平面BEF．
(3)设M(1,1,m)，则DM=(1,1,m)，由DM?EF
所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面
变式练习
1.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F
证明AF⊥平面A1
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，
设AB=1，依题意得D
已知AF=(1,2,1)，EA1
于是AF?EA
又EA1∩ED=E所以AF⊥
2.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=2，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD．
解析∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD又PB⊥PD，
由平面几何知识得：OD=OC=1，BO=AO=2
以O为原点，OA，OB，OP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－1,0,