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预习课05用空间向量研究直线、平面的平行
1空间中点的向量表示
在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P的位置向量.
2空间中直线的向量表示
(1)直线的方向向量
若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.
注同一直线的方向向量不唯一.
【例】若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为
A．(3,2,1) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(1,2,3)
3空间中平面的向量表示
(1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定
取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，
使OP=
(2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定
①若向量n所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，向量n叫做平面α
注一平面的法向量不唯一.
【例】正方体ABCD?ABCD中，边长为2，那以下是平面ABCD的法向量，是平面BCCB的法向量.
A．(0,0,2) B．(1,0,0) C．(0,2,0) D．(0,1,0)
(3)平面的法向量的求法(待定系数法)
①建立适当的坐标系；
②设平面α的法向量为n
③求出平面内两个不共线向量的坐标?a=(
④根据法向量定义建立方程组n?
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.
4判定空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线l1,l
则要证明l1||l
(2)线面平行
设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，且
则要证明l||α，只需证明a⊥n
【例】设u=(2,2,?1)是平面α的法向量，a=(?3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与α
A．l//α B．l⊥α C．l?α D．l?α或l//α
(3)面面平行
若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，要证α||β，只需证n
【例】若两个不同平面α，β的法向量分别为u=(1,2,?1),
A．α//β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
【题型一】证明线面平行
【典题1】如图，在正方体ABCD?ABCD中，E,F分别是面AB，面AC的中心，求证：EF//平面ACD.
变式练习
1.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=2，AB=6，E,F分别为A
①求点E,F的坐标；
②求证：EF//平面ACD
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA＝BC=12AD=1，问在棱PD上是否存在一点
【题型二】证明面面平行
【典题1】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2
(1)FC1//平面ADE；(2)平面ADE∥
变式练习
1.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，
2.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C
（1）BF//HD1；（2）EG//平面BB1D
【A组基础题】
1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：直线l，m和平面α，其中l?α，m?α，l//m，
求证：l//α.
证明设直线l，m的方向向量分别为a,b，平面α的法向量为
∵l//m，∴a
∵平面α的法向量为u，∴u
∵m?α,直线m的方向向量分别为b，
∴u⊥b,
∴u?a
∵l?α，∴l//α.
2.在正方体ABCD?A1B1C1D1，E是棱
证明以A为坐标原点，如图建立坐标系，
3.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图，a?β,b?β,a∩b=P,a//α,b//α.
求证：α//β.
证明如图，取平面α的法向量n，直线a,b的方向向量u，v，
因为a//α,b//α，所以n?u=0
因为a?β,b?β,a∩b=P，所以对任意点Q∈β，存在x,y∈R，使得PQ
从而n?
所以向量n也是平面β的法向量，故α//β.
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，F
(1)求证:直线A1F∥平面
(2)若?ABC是正三角形,E为C1C中点，能否在线段B1B上找一点N，使得
【B组提高题】
1在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中∠ABC=90°，D是BC上一点，且A1