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预习课11双曲线
1双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2
如图，P是双曲线上一点，|PF
解释
当PF
当PF
当|PF1?PF2
当|PF
【例】点P到两定点F1(?2,0)，F2(2,0)的距离之差为
解析依题意PF1?P
由双曲线定义可知，动点P的轨迹是双曲线的右支.
2双曲线的标准方程
焦点在x轴上的双曲线方程为x2
焦点在y轴上的双曲线方程为y2
解释
(1)双曲线标准方程的证明
双曲线具有对称性，以经过双曲线两焦点的直线为x轴，线段F1F2
设P(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c0)，那么焦点F1(?c,0)，F2(c,0)，根据双曲线定义可得
化简得c2?a2x
即动点P的轨迹双曲线对应的方程是x2
由双曲线定义可知2c2a0，即ca0，所以c2
令b2=c
(焦点在y轴上的双曲线类似证明)
【例】点P到两定点F1(?2,0)，F2(2,0)的距离之差为
解析由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是双曲线的右支，且2a=2，c=2，
即a2=1，b2=c
(2)对于方程x2
当mn0时，方程表示的轨迹为双曲线；
当m0,n0时，方程表示的轨迹为焦点在x轴的双曲线；
当n0,m0时，方程表示的轨迹为焦点在y轴的双曲线；
(由双曲线方程判断焦点的位置与a的值，我们看分母m,n的正负)
【例】双曲线方程x29?y23=1，其焦点在x轴还是y
解析焦点在x轴，且a=3，b=3，c=2
3焦点三角形
F1，F2是双曲线x2a2?y2b
在题目出现焦点三角形?F1P
4几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图象
标准方程
x
y
范围
x≤?a或x≥a,y∈R
y≤?a或y≥a,x∈R
顶点
A
A
轴长
虚轴长2b，实轴长2a
焦点
F
F
焦距
F
a、b、c的关系
c
离心率
e=
渐近线
y=±
y=±
实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
【例】求双曲线25x
解析将方程变形为x216?y225=1
故双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a=8和2b=10，离心率e=c
焦点坐标为F1(0,?41)，F2(0,41
【题型一】双曲线的定义
【典题1】已知两定点F1(?5,0),F2(5,0)，动点P满足PF1?PF2=2a
A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线
解析当a=3时，PF1?
当a=5时，PF1?PF
变式练习
1.已知定点F1(?2,0),F
A．||PF1
C．||PF1
答案A
解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于|F
2.平面内到两定点F1?3,0、F2(3,0)
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
答案D
解析根据双曲线的定义，MF1|－|MF2|=±4，且|F1F2|=64，
【题型二】双曲线的标准方程
【典题1】已知方程x21+k?y2
A．?1k1B．k0C．k≥0D．k1或k?1
解析方程x21+k?y21?k=1
【典题2】双曲线过点(4，3)、(3，52)，则双曲线的标准方程为．
解析由题意，设双曲线方程为mx2+n
得16m+3n=19m+54n=1，解得m=1
变式练习
1.若k∈R，则k?3是方程x2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案B
解析方程x2k?3+y2
方程x2k?3+
所以k∈R，则k?3是方程x2k?3
2.过点(1,1)且ba=2的双曲线的标准方程是
答案y
解析由于ba=2，∴b2=2a2．当焦点在
此时双曲线方程为x212?y
【题型三】双曲线的简单几何性质
【典题1】已知双曲线C的方程为x216?
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为y=±3
C．离心率为54
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为9
解析∵双曲线C的方程为x216?y29=1，∴a=4，b=3，∴c=a2+b2=5，∴实轴长为2a=2×4=8，即A正确；渐近线方程为y=±bax=±34x，即B正确；离心率为e=c
【典题2】已知F1、F2为双曲线C：x23?y2
A．3 B．33 C．32
解析双曲线C：x23?y2=1，可得a=3，
由双曲线的定义可得：|m－n|=2a=23，则有m2
又由∠F1PF
联立①②解可得mn=4，则△PF1F2的面积
变式练习
1.已知双