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预习课10椭圆
1椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图：P是椭圆上一点，P
解释
PF1+PF2=2aF
PF1+PF2
PF1+P
【例】点P到两定点F1(?1,0)，F2(1,0)的距离之和为
解析依题意PF1+P
由椭圆定义可知，动点P的轨迹是椭圆.
2椭圆的标准方程
焦点在x轴上的椭圆方程为x2
焦点在y轴上的椭圆方程为y2
解释
(1)椭圆标准方程的证明
椭圆具有对称性，以经过椭圆两焦点的直线为x轴，线段F1F2
设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1(?c,0)，
根据椭圆定义可得PF1+P
所以x+c2
两边平方得(x+c)
整理得a2
两边平方得a4
整理得a2
两边同除以a2a2
即动点P的轨迹椭圆对应的方程是x2
由椭圆定义可知2a2c0，即ac0，所以a2
令b2=a2?
则我们称x2
(焦点在y轴上的椭圆类似证明)
【例】点P到两定点F1(?1,0)，F2(1,0)的距离之和为
解析由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是椭圆，且2a=4，c=1，
即a2=4，b2=3，则动点
(2)对于方程x2
当m0，n0，且m≠n时，方程表示的轨迹为椭圆；(若m=n，则方程表示圆)
当mn0时，方程表示的轨迹为焦点在x轴的椭圆；
当nm0时，方程表示的轨迹为焦点在y轴的椭圆；
(由椭圆方程判断焦点的位置与a的值，我们看分母m,n的大小)
【例】椭圆方程x29+y23=1，其焦点在x轴还是y
解析焦点在x轴，且a=3，b=3，c=
3焦点三角形
F1，F2是椭圆x2a2+y2b
在题目出现焦点三角形?F1P
4椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x
y
范围
?a≤x≤a且?b≤y≤b
?b≤x≤b且?a≤y≤a
顶点
A
B
A
B
轴长
短轴长2b，长轴长
焦点
F
F
焦距
F
a、b、c的关系
a
离心率
e=
注离心率e越小，椭圆越偏平.
如下图，e=ca=tanα，则e
【例】求椭圆25x
解析将方程变形为y225+x216=1
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=10和2b=8，离心率e=c
焦点坐标为F1(0,?3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0,?5)，
【题型一】椭圆的定义
【典题1】下列说法中正确的是()．
A．已知F1(?4,0)，F2(4,0)，到
B．已知F1(?4,0)，F2(4,0)，到
C．到F1(?4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点
D．到F1(?4,0)，
解析A中常数8=F1F2，B中常数6F1F2，所以轨迹都不是椭圆；可计算
变式练习
1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案B
解析若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|+|PB|=2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段
当2a|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
2.已知定点F1,F2，且F1F2
A．椭圆B．圆C．直线D．线段
答案A
解析由于PF1+
【题型二】椭圆的标准方程
【典题1】已知方程x225?m+y2m+9=1表示焦点在
A．－9m25B．8m25C．16m25D．m8
解析由于椭圆的焦点在y轴上，所以25?m0m+90m+925?m，解得
【典题2】椭圆的两个焦点坐标分别是(?3,0)，(3,0)
解析方法1∵椭圆的焦点在x轴上，∴设其标准方程为x2a
依题意，有3a2+14b
方法2∵椭圆的焦点在x轴上，∴设其标准方程为x2a
∵2a=(
∴a=2，又c=3．∴b2=a2
变式练习
1.已知方程x24?k+y2k?1=1表示焦点在x
答案1,5
解析∵方程x24?k+
∴4?k0k?104?kk?1，解得1k52
2.椭圆x225+y216=1上一点
答案7
解析设F1,F2为椭圆的两焦