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预习课06用空间向量研究直线、平面的垂直
1线线垂直
设直线l1,l2的方向向量分别是u1,u
2线面垂直
①(法一)设直线l的方向向量是u，平面α的法向量是n，则要证明l⊥α，只需证明u||
②(法二)设直线l的方向向量是u，平面α内的两个相交向量分别为m,
若u?m=0u?n=0
【例】已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a=?1,0,??1，n=(1,0,1)，则直线l
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
3面面垂直
若平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，要证
【例】若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,?3),b=(?1,2,2)，判断平面α与
【例】已知平面α，β的法向量分别为u=(3,?1,4),
A．α//β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
【题型一】对空间向量证明线面垂直方法的理解
【典题1】给出下列命题：
①直线l的方向向量为a=1,?1,2，直线m的方向向量b=2,1,?1
②直线l的方向向量a=0,1,??1，平面α的法向量n=
③平面α、β的法向量分别为n1=(0,1,3),n
④平面α经过三点A(1,0,?1),B(0,1,0),C(?1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）
【巩固练习】
1已知直线l1的方向向量m=(2,m,1)，l2的方向向量n=1,12
2已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m)，平面α的一个法向量n=?1,?2,3，若l⊥α，则
3已知平面α的一个法向量a=(x,1,?2)，平面β的一个法向量b=?1,y,12，若
【题型二】证明线面垂直
【典题1】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1
(1)求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
(2)求证：AG∥平面BEF；
(3)试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面
变式练习
1.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F
证明AF⊥平面A1
2.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=2，PB⊥PD．设点M在棱PC上，问M点在什么位置时，PC⊥平面BMD
【题型三】证明面面垂直
【典题1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1
(1)证明：A1B∥平面
(2)证明：平面ADC1⊥
变式练习
1.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD//MA，E,G,F分别为MB,PB,PC的中点，且AD=PD=2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.
2.在三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PB=2，BC=23，E、G分别为PC、PA
(I)求证：平面BCG⊥平面PAC；
(II)在线段AC上是否存在一点N，使PN⊥BE？证明你的结论．
【A组基础题】
1.已知直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，若a=?1,0,??1，n=(1,0,1)，则直线l
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
2.已知平面α，β的法向量分别为u=(3,?1,4),
A．α//β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．α，β的位置关系不确定
3.已知平面α，β的法向量分别为a=(?2,x,1),b=(x,1,4)，且α⊥β，则
4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN，
5.在边长是2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求EF的长；(2)证明：EF∥平面AA1D1D
6.在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，
∠ABC=60°
(Ⅰ)求证：AC⊥平面FBC；
(Ⅱ)线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．
【B组提高题】
1.如图，四棱锥S－ABCD中．ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=3．E为CD上一点，且CE=3DE．
(1)求证：AE⊥平面SBD；
(2)M、N分别在线段SB、CD上的点，是否存在M、N，使MN⊥CD且MN⊥SB，若存在，确定M、N的位置；若不存在，说明理由．