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预习课03空间向量基本定理
1空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p
证明存在性：设a,b,c不共面，过点O作OA=
过点P作直线PP平行于OC交平面OAB于点P在平面
过点P作直线P
存在三个数x,y,z，使得OA=xOA=x
∴OP
∴p
唯一性：设另有一组实数x,y
则x
∴x?
∵a,b,c不共面，∴x?
故实数x,y,z是唯一的.
2基底
若三向量a,b,c不共面，我们把
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi
【例】设命题p:a,b,c是三个非零向量；命题q:{a,
解：a,b,c是三个非零向量成立，当a,b,c三个向量共面时，则{a,b,c}不为空间的一组基，即命题
所以命题q是命题p的充分不必要条件．
3推论
设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使?
若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.
【题型一】空间向量基本定理的理解
【典题1】若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是
A．b+c,b,b?c B．a
解析对于A，若向量b+c,b,b?c共面，则b+
对于B，若向量a+b,a?b,c共面，则
对于C，若向量a,a+b,a?b共面，则a+
对于D，若向量a+b,a+b+c,
故选：B．
变式练习
1.{a,b
①{a,b,p}，②{b,c
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
解析∵{a,b
①{a,b
②{b
③{p
④{p,q,a
2.已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,
A．OA,OB,OC共线 B
C．OA+OB与OC共线 D．
答案D
解析由于向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底知OA,OB
【题型二】基底表示空间向量
【典题1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=a,AD=b,AA1=
A．12a+b+cB．15
解析∵M是D1D的中点，AN=13AC
变式练习
1.如围在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上且满足OM=2MA,BN=2NC，点G是线段
A．OG=13OA
C．OG=13
答案A
解析∵在四面体OABC中，M，N分别在棱OA、BC上，且满足OM=2MA,BN=2
∴OG=1
2.如图，在空间四边形OABC中，G,H分别是△ABC,△OBC的重心，D为BC的中点，试用基底{OA,
答案C
解析OG=OA+AG=
所以GH=?
【题型三】空间向量基本定理的应用
【典题1】在平行六面体ABCD?A1B1C1D1
(1)用基底{a,b
(2)求向量AC
解析(1)由题意可得BM=
故BM=?1
(2)由条件得|a|=1,|b|=2,|c|=3．a?
故AC1
变式练习
1.如图,已知正方体ABCD?ABCD
证明设AB=a,
∴AO=AC
∴AO
=?12t2+0?0+0?0+
2.如图,在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,
(1)求证:EF⊥B1C;(2)
证明设DA=
则EF
B1
∵EF?B
(2)解由(1)知EF=12
又|EF|=3
=120+0+
∴EF与C1G所成角的余弦值为
【A组基础题】
1.有以下命题：
①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么
②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,
③已知向量a,b,
其中正确的命题是()
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
答案C
解析①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么
反例：如果有一个向量a,
②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,
③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量
2.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A
A．12a+12b+c
答案D
解析∵在平行六面体ABCD－A1B1C1D
∴CM
=?AD+12BA
3.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG→等于()
A．13OA+1
C．12OA+
答案C
解析在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG=
∴OG=1
4.如图，在四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点．
(1)若OA=a,OB=
(2)若四面体OABC的棱长均