空间向量黄金60题
一．解答题（共60小题）
1．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°，点D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣DE﹣B的余弦值的取值范围．
2．如图，将边长为4的等边三角形ABC沿与边BC平行的直线EF折起，使得平面AEF⊥平面BCEF，O为EF的中点．
（1）求平面AEF与平面AEB所成角的余弦值；
（2）若BE⊥平面AOC，试求折痕EF的长；
（3）当点O到平面ABC距离最大时，求折痕EF的长．
3．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在对角线BD1上，AC∩BD＝O，平面ACP∥平面A1C1D．
（1）求证：O，P，B1三点共线；
（2）若四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3，AA1＝
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝1，AD＝DP＝AP=3．∠BAD＝∠BCD＝90°．G是△BCD的重心，PG⊥底面ABCD
（Ⅰ）证明：AB∥平面PCG；
（Ⅱ）求直线CD与平面PAD所成角的正弦值．
5．如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为P，Q，AA1C1C是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝2，AA1＝k．
（1）当k为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心；
（2）若k∈[2，4]，当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．
6．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．
（Ⅰ）设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
（Ⅱ）当AB＝3，AD＝2，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
7．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=π6，斜边AB＝4，D是AB中点，现将Rt△
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）
8．如图：已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90，PA＝PB，PC＝PD．
（Ⅰ）证明CD与平面PAD不垂直；
（Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅲ）如果CD＝AD+BC，二面角P﹣BC﹣A等于60°，求二面角P﹣CD﹣A的大小．
9．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2．
（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
（2）设AB1与BC1的夹角为π3，求侧棱
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC＝BP，CD＝2AB＝4，△ADP是等边三角形，且E为DP的中点．
（1）证明：AE∥平面PBC；
（2）当PA＝6时，试判断在棱BC上是否存在点M，使得二面角M﹣PA﹣E的大小为60°．若存在，请求出BMBC
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥BA，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD（异于端点）上，点N为BC中点．
（1）证明：若DM＝2MP，直线MN∥平面PAB；
（2）求平面PCD与平面PDN夹角的余弦值；
（3）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26？若存在求出PM
12．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点．
（1）求证：DM⊥PC；
（2）在线段PB上是否存在一点Q使得MQ∥平面PNC，存在指出位置，不存在请说明理由．
（3）求二面角B﹣PC﹣N的正弦值．
13．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB=π2，D、E分别为线段AB、BC上的点，且CD＝DE=2，CE＝2EB
（1）证明：DE⊥平面PCD；
（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
14．已知二面角α﹣l﹣β，点P∈α，P与棱l的距离为13，与半平面β所在平面的距离为3．
（1）求二面角α﹣l﹣β的余弦值；
（2）设A，B∈l，AB＝1，动点Q在半平面β所在平面上，满足PQ＝5．
（i）求Q运动轨迹的长度；
（ii）求四面体P﹣QAB体积的最大可能值．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD=5
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．
16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，