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文件名称:2025邦达数学空间向量黄金60题(学生版).docx
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更新时间:2025-07-06
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文档摘要

空间向量黄金60题

一.解答题(共60小题)

1.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,∠ACC1=60°,点D,E分别是线段AC,CC1的中点,二面角C1﹣AC﹣B为直二面角.

(1)求证:A1C⊥平面BDE;

(2)若点P为线段B1C1上的动点(不包括端点),求锐二面角P﹣DE﹣B的余弦值的取值范围.

2.如图,将边长为4的等边三角形ABC沿与边BC平行的直线EF折起,使得平面AEF⊥平面BCEF,O为EF的中点.

(1)求平面AEF与平面AEB所成角的余弦值;

(2)若BE⊥平面AOC,试求折痕EF的长;

(3)当点O到平面ABC距离最大时,求折痕EF的长.

3.如图,平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在对角线BD1上,AC∩BD=O,平面ACP∥平面A1C1D.

(1)求证:O,P,B1三点共线;

(2)若四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=π3,AA1=

4.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB=1,AD=DP=AP=3.∠BAD=∠BCD=90°.G是△BCD的重心,PG⊥底面ABCD

(Ⅰ)证明:AB∥平面PCG;

(Ⅱ)求直线CD与平面PAD所成角的正弦值.

5.如图,已知圆柱的上,下底面圆心分别为P,Q,AA1C1C是圆柱的轴截面,正方形ABCD内接于下底面圆Q,AB=2,AA1=k.

(1)当k为何值时,点Q在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心;

(2)若k∈[2,4],当平面PAD与平面PBC所成的锐二面角最大时,求该锐二面角的余弦值.

6.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点.

(Ⅰ)设P是CE上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;

(Ⅱ)当AB=3,AD=2,求二面角E﹣AG﹣C的大小.

7.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=π6,斜边AB=4,D是AB中点,现将Rt△

直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥,点C为圆锥底面圆周上一点,且∠BOC=90°,

(1)求圆锥的侧面积;

(2)求直线CD与平面BOC所成的角的大小;(用反三角函数表示)

8.如图:已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90,PA=PB,PC=PD.

(Ⅰ)证明CD与平面PAD不垂直;

(Ⅱ)证明平面PAB⊥平面ABCD;

(Ⅲ)如果CD=AD+BC,二面角P﹣BC﹣A等于60°,求二面角P﹣CD﹣A的大小.

9.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长为2.

(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;

(2)设AB1与BC1的夹角为π3,求侧棱

10.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥CD,BC=BP,CD=2AB=4,△ADP是等边三角形,且E为DP的中点.

(1)证明:AE∥平面PBC;

(2)当PA=6时,试判断在棱BC上是否存在点M,使得二面角M﹣PA﹣E的大小为60°.若存在,请求出BMBC

11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,AD⊥BA,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD(异于端点)上,点N为BC中点.

(1)证明:若DM=2MP,直线MN∥平面PAB;

(2)求平面PCD与平面PDN夹角的余弦值;

(3)是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为26?若存在求出PM

12.如图,四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点.

(1)求证:DM⊥PC;

(2)在线段PB上是否存在一点Q使得MQ∥平面PNC,存在指出位置,不存在请说明理由.

(3)求二面角B﹣PC﹣N的正弦值.

13.如图所示,在三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=π2,D、E分别为线段AB、BC上的点,且CD=DE=2,CE=2EB

(1)证明:DE⊥平面PCD;

(2)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.

14.已知二面角α﹣l﹣β,点P∈α,P与棱l的距离为13,与半平面β所在平面的距离为3.

(1)求二面角α﹣l﹣β的余弦值;

(2)设A,B∈l,AB=1,动点Q在半平面β所在平面上,满足PQ=5.

(i)求Q运动轨迹的长度;

(ii)求四面体P﹣QAB体积的最大可能值.

15.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5

(1)求证:PD⊥平面PAB;

(2)求二面角P﹣CD﹣A的余弦值.

16.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,