返回后页前页无穷积分的性质与收敛判别第1页，共35页，星期日，2025年，2月5日一、无穷积分的性质第2页，共35页，星期日，2025年，2月5日第3页，共35页，星期日，2025年，2月5日证极限的柯西准则,此等价于收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第4页，共35页，星期日，2025年，2月5日性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第5页，共35页，星期日，2025年，2月5日性质2第6页，共35页，星期日，2025年，2月5日h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第7页，共35页，星期日，2025年，2月5日再由柯西准则的充分性,第8页，共35页，星期日，2025年，2月5日若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何有限区间[a,u]上可积,性质3(绝对收敛的无穷积分必收敛)若f在任第9页，共35页，星期日，2025年，2月5日因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第10页，共35页，星期日，2025年，2月5日收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例2的收敛性.判别解由于第11页，共35页，星期日，2025年，2月5日二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在上的非负函数f在任何收敛的充要条件是:第12页，共35页，星期日，2025年，2月5日证设增函数的收敛判别准则,从而F(u)是单调递增的由单调递第13页，共35页，星期日，2025年，2月5日非负函数f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.2(比较判别法)设定义在上的两个存在满足第14页，共35页，星期日，2025年，2月5日证由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第15页，共35页，星期日，2025年，2月5日例3判别的收敛性.解显然第16页，共35页，星期日，2025年，2月5日设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例4证由于第17页，共35页，星期日，2025年，2月5日推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且第18页，共35页，星期日，2025年，2月5日证即第19页，共35页，星期日，2025年，2月5日第20页，共35页，星期日，2025年，2月5日推论2设f是定义在上的非负函数,在任何限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:推论3是推论2的极限形式.第21页，共35页，星期日，2025年，2月5日例5讨论的收敛性(k0).解(i)第22页，共35页，星期日，2025年，2月5日Ex1解所给广义积分收敛．Ex2解根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散．第23页，共35页，星期日，2025年，2月5日Ex3解根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散．第24页，共35页，星期日，2025年，2月5日第25页，共35页，星期日，2025年，2月5日返回后页前页