第三章

第一节

*10.设在上可导,且,,证明至少存在一点,使得.

解考虑,则在上可导.

由于,,,则由零点定理知,使得.

因此由Rolle定理知,,使得,即.

*11.设函数在上具有二阶导数,且,且,

证明：(1)方程在区间内至少存在一个实根;

(2)方程在区间内至少存在两个不同实根.

解(1)由于,由极限的保号性质知,存在,使得,由零点定理知,存在,使得,即方程在区间内至少存在一个实根;

(2)由题,且,则由Rolle定理知,存在,使得.考虑辅助函数,由于,则在,上分别考虑Rolle定理,分别存在,,从而,