*在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如第30页，共65页，星期日，2025年，2月5日*有限半群若满足消去律则一定是群。√无限半群若满足消去律则一定是群。×第31页，共65页，星期日，2025年，2月5日*（2）有限级数一定有“和”。√是个确定的数无穷级数一定有“和”。×则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。第32页，共65页，星期日，2025年，2月5日*有限多个无穷小量的乘积一定还是无穷小量。(所以，高等数学中学习“无穷小量”性质时应注意“有限个”的条件）无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小量（甚至可以是无穷大量）。第33页，共65页，星期日，2025年，2月5日*2.联系在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限通过有限的方法，描写无限的过程。如：；自然数N，都，使时，。第34页，共65页，星期日，2025年，2月5日*3）无穷级数通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式,a1=*5）因子链条件（抽象代数中的术语）第35页，共65页，星期日，2025年，2月5日*3.数学中的无限在生活中的反映1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）(大家的经验：公园中通幽的“曲径”是“条石”修成的；圆形的石拱桥；家中弧形的拱形装饰）2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的）（微积分中有“局部以直代曲”微分思想）第36页，共65页，星期日，2025年，2月5日以下几个近似计算公式就是在“局部以直代曲”微分思想下所得的结果当很小时，有：第37页，共65页，星期日，2025年，2月5日*3）不规则图形的面积：大家都会求：正方形的面积，长方形的面积，三角形的面积，多边形的面积，圆面积。但是，怎样求不规则图形的面积？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。通过数方格数计算出面积的近似值。方格越小，所得面积越准（小学数学中让小学生数方格，不足一格当半个）第38页，共65页，星期日，2025年，2月5日北师大小学数学五年级上册P23第39页，共65页，星期日，2025年，2月5日*法Ⅱ.（高等数学中的方法：分割、求和、取极限——定积分）首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形→若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，矩形面积之和~曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极限，就得到曲边梯形的面积。=第40页，共65页，星期日，2025年，2月5日*五、潜无限与实无限1．潜无限与实无限简史潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一种方式，不是一个实体。第41页，共65页，星期日，2025年，2月5日*从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持这种潜无限的观点。他们认为“正整数集是无限的”来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从1，2，3，…写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。第42页，共65页，星期日，2025年，2月5日*但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克