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2025年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）
数学
本试卷满分150分,考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．的虚部为（）
A． B．0C．1 D．6
2．已知集合，集合，则中元素个数为（）
A．0B．3C．5 D．8
3．已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（）
A．B．2C．D．
4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）
A． B． C．D．
5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（）
A． B． C．D．
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速．视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（）
A．轻风 B．微风C．和风D．劲风
7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．已知，则x，y，z大小关系不可能是（）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在正三棱柱中，D为BC中点，则（）
A． B．平面
C．D．平面
10．设抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A、B，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（）
A．B．
C．D．
11．已知的面积为，，则（）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．若直线是曲线的一条切线，则_________．
13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________．
14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球．记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．
16．已知数列中，，
（1）证明：数列是等差数列；
（2）给定正整数m，设函数，求．
17．如图，在四棱锥中，底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面上；
（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
（1）求C的方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
19．（1）设函数在区间最大值；
（2）给定和a∈R，证明：存在，使得；
（3）设b∈R，若存在∈R使得对x∈R恒成立，求b的最小值．
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