第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日如果满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:如果函数在上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下：一.傅立叶变换反演公式第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日注1：在有些参考文献中,因子被分解成,并且分别含在上述两个式子（1）和（2）中.而在式(1)中的函数写成，从而在式(2)中函数写成.这些本质上同定义（1）（2）没有差别.第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日注2：在三维无界空间中,若是绝对可积函数,则可定义三重傅里叶变换当然，我们也可以定义傅立叶逆变换第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日傅立叶变换的性质:1）线性性质设f,g是绝对可积函数，是任意复常数，则2）微分性质设f,绝对可积函数，则3）乘多项式设f,xf绝对可积，则第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日4）相似性质设f(x)绝对可积，则6）卷积性质设f,g是绝对可积函数，令则5）延迟性质设f(x)绝对可积，则第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日7）积分性质8）频移性质第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日例1用傅里叶变换法解热传导方程定解问题：解：作关于x的傅立叶变换,方程可变为设二.傅里叶变换的应用第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日可解得由于即则第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日从而方程的解第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日例用积分变换法解方程：解：作关于的傅立叶变换。设方程变为用常数变易法可解得而则第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日傅立叶变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积.大部分函数不能作傅立叶变换。2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效。注：第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日傅里叶变换法求解问题的步骤对方程的两边做傅里叶变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程对应的定解条件求常微分方程及定解条件的解对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日数学物理方程+定解条件解常微分方程+定解条件解积分变换逆变换第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日解：取变换符氏例2用傅里叶变换求解波动方程的初值问题：第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日例3用傅里叶变换求解波动方程的初值问题解：作关于x的傅立叶变换。设第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日于是原方程变为满足初始条件第20页，共28页，星期日，2025年，2月5日